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Sur certaines transformations fonctionnelles et leur application à la théorie des fonctions permutables. (French) JFM 47.0386.01
Verf. nennt zwei Funktionen \(f\) und \(\varphi\) vertauschbar, wenn \[ \overset {*} f \overset {*} \varphi =\int_x^y (x, \xi)\varphi(\xi, y)d\xi \] gesetzt, \(\overset {*} f \overset {*} \varphi = \overset {*} \varphi \overset {*} f\) gilt. Volterra hat sämtliche Funktionen, welche mit einer gegebenen \(f (x, y) (f (x, x) =1, f_x'(x, x) = f_y'(x, x) = 0)\) vertauschbar sind, in der Form \[ (*) \quad \Omega (\lambda) =\lambda(y-x) +\int_0^{y - x}\lambda(\xi)\Phi(\xi;x,y)d\xi \] dargestellt. Hierbei ist \(\lambda,\) beliebig, \(\Phi\) hängt von \(f\) ab und genügt einer Funktionalgleichung. Die “erzeugende Funktion” \(\Phi\) ist durch \(f\) nicht eindeutig bestimmt und Verf. sucht sie so zu bestimmen, daß sie die Eigenschaften der Funktionengesamtheit \((*)\) möglichst treu widerspiegelt. Er fordert für zwei beliebige Funktionen \(\lambda, \mu\) \[ \Omega(\overset {*} \lambda \overset {*} \mu) =\overset {*} g \overset {*} h, \] wenn \[ \Omega (\lambda) = g, \;\Omega(\mu) = h \] ist. Dies führt auf eine Funktionalgleichung für \(\Phi,\) welche die schon genannte als Folgerung enthält und mittels sukzessiver Approximationen gelöst wird Es ergibt sich \[ \Phi(\eta;x,y) =\sum_{(n)}\int_0^\eta d\eta_n \int_0^{\eta_n}d\eta_{n-1}\dots \int_0^{\eta_2}d\eta_1 \overset {*} G_{\eta_1} \overset {*} G_{\eta_2}\dots \overset {*} G_{\eta_n} (x,y-\eta); \] hierbei ist \(0 \leqq x \leqq y \leqq a, 0 \leqq \eta \leqq y - x,\) ferner \[ G_\eta (x,y)=F(x+\eta,y+\eta), \] wo \(F\) eine beliebige, für \(0 \leqq x \leqq y \leqq a\) erklärte Funktion ist. Anwendungen auf Reihenentwicklungen, die Funktionen darstellen, welche mit einer gegebenen vertauschbar sind.

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Full Text: DOI Numdam EuDML