×

Über einen Satz des Herrn Helge von Koch über die Integrale linearer Differentialgleichungen. (German) JFM 47.0400.03

In der Differentialgleichung \[ \frac{d^n y}{dx^n} +P_1(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} +\cdots +P_n(x)y =0 \] seien die Koeffizienten \(P_\lambda (x)\) in der Umgebung der Stelle \(x = a\) Laurentsche Reihen mit höchstens endlich vielen negativen Exponenten; ferner sei \(\nu_\lambda\) die kleinste nicht negative Zahl derart, daß \[ (x - a)^{\lambda +\nu_\lambda}P_\lambda (x) \] an der Stelle \(a\) regulär ist, und endlich werde \[ \text{Max}\left(\nu_1, \frac{\nu_2}{2},\dots, \frac{\nu_n}{n}\right) =k \] gesetzt. wann ist bekanntlich \(a\) eine Stelle der Bestimmtheit oder Unbestimmtheit, je nachdem \(k = 0\) oder \(k > 0\) ist. H. von Koch untersucht das Wachstum der Integrale in der Umgebung von \(a,\) wenn eine Unbestimmtheitsstelle vorliegt: Er findet, wenn \(x - a = re^{i \vartheta}\) gesetzt und \(\vartheta\) auf ein endliches Intervall beschränkt wird, daß dann, wie klein auch die positive Zahl \(\varepsilon\) sei, stets \[ | y| < e^{| \frac {1}{x-a}|^{k +\varepsilon}} \] gilt, sobald nur \(| x - a|\) klein genug ist. Zum Beweis wird \(y\) in eine Reihe entwickelt, deren Koeffizienten sich mit Hilfe unendlicher Determinanten berechnen lassen. Als Anwendung ergibt sich eine Darstellung der Integrale auf den Randstrahlen ihres Mittag-Lefflerschen Sternes.
O. Perron führt eine neue unabhängige Variable \(\zeta\) ein durch die Substitution \[ \left(\frac{1}{x-a}\right)^k=\zeta \] und gelangt dann durch eine ganz kurze und elementare Rechnung zum Ziel, wobei er die obige Ungleichung noch durch die schärfere \[ | y| < e^{K| \frac 1{x-a}|^{k}} \] ersetzen kann, wo \(K\) eine Konstante bezeichnet. Er bestimmt außerdem die untere Grenze aller hier zulässigen Konstanten \(K.\)

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML