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Lineare Differentialgleichungen unendlich hoher Ordnung mit ganzen rationalen Koeffizienten. (German) JFM 47.0405.01

Gegenstand der Arbeit ist die lineare Differentialgleichung unendlich hoher Ordnung \[ \sum_{\nu =1}^\infty (a_\nu + b_\nu x) y^{(\nu -1)} = f (x). \] Dabei soll \(f(x)\) eine ganze Funktion sein, die der Ungleichung genügt: \[ \varlimsup_{m\to\infty}\root m\of {| f^{(m)} (x)|}<q, \] wo \(q\) eine gegebene positive Zahl; man sieht leicht, daßdieser \(\overline \lim\) für alle \(x\) der gleiche ist. Die Koeffizienten \(a_\nu, b_\nu\) seien so beschaffen, daßdie Konvergenzradien der Potenzreihen \[ a(z) =\sum_{\nu =1}^\infty a_\nu z^{\nu-1},\;b(z) =\sum_{\nu =1}^\infty b_\nu z^{\nu -1} \] größer als \(q\) sind. Die Anzahl der Nullstellen von \(b(z)\) im abgeschlossenen Bereich \(| z|\leqq q\) sei \(n +1.\) Gefragt wird nach denjenigen Lösungen \(y,\) welche ganze Funktionen sind von der Art, daß \[ \varlimsup_{\nu\to\infty}\root \nu\of {| y^{(\nu)}|} \leqq q. \] Es zeigt sich, daßim allgemeinen die homogene Differentialgleichung (d.h. bei der \(f(x) = 0\) ist) genau \(n\) linear unabhängige Lösungen dieser Art zuläßt, und daßauch die inhomogene Gleichung eine derartige Lösung hat, aus der sich dann die allgemeinste natürlich dadurch ergibt, daßman die mit willkürlichen Konstanten multiplizierten \(n\) Lösungen der homogenen hinzufügt.
Wie spätere Untersuchungen gezeigt haben, gilt dieser Satz dann und nur dann, wenn das Integral der Differentialgleichung \[ b(z) \varphi'(z) + a(z) \varphi (z) = 0, \] also die Funktion \[ e^{-\smallint \frac{a(z)}{b(z)} dz} \] im abgeschlossenen Bereich \(| z|\leqq q\) wenigstens eine singuläre Stelle hat. Jedoch wird er hier nur unter etwas weitergehenden Einschränkungen gewonnen, und zwar dadurch, daßdie gegebene Differentialgleichung beliebig oft differentiiert wird. So entsteht ein System von unendlich vielen linearen Gleichungen mit den unendlich vielen Unbekannten \(y, y', y'', \dots,\) welches sich so umgestalten läßt, daßman die Hilbert-Toeplitzsche Theorie darauf anwenden kann. Verf. begnügt sich aber nicht mit dem so geführten Existenzbeweis, sondern gibt auch eine explizite Darstellung der Lösungen mit Hilfe einer Laplaceschen Transformation. (IV 7.)

References:

[1] Hellinger-Toeplitz, l. c., S. 301.
[2] O. Toeplitz, l. c., Math. Ann., 70 (1911), S. 355.
[3] Vgl. etwa L. Schlesinger, Differentialgleichungen, Sammlung SchubertXIII (1900), S. 199.
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