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Sur l’état actuel de la théorie des équations aux différences finies. (French) JFM 47.0422.03
Darboux Bull. (2) 44, 174-192 (1920); 44, 200-220 (1920).
Referat über einige neuere Untersuchungen, wobei immer der analytische Charakter der Lösungen im Vordergrund steht. Besondere ausführlich ist über die grundlegenden Gleichungen \[ \omega_\Delta F(x)\equiv \frac{F(x +\omega)- F(x)}{\omega} =\varphi(x),\;\nabla_\omega G(x) \equiv \frac{G(x +\omega) +G(x)}{2} =\varphi(x), \] wo \(\varphi (x)\) eine gegebene analytische Funktion ist, berichtet. Die naheliegenden Reihenentwicklungen \[ F(x)=-\omega \sum_{s =0}^\infty \varphi(x +s\omega),\;G(x) =2\sum_{s =0}^\infty (-1)^s \varphi(x +s\omega), \] welche die obigen Gleichungen formal befriedigen, sind im Fall der Konvergenz wirkliche Lösungen und werden dann als Hauptlösungen bezeichnet. Im Fall der Divergenz gilt das Gleiche, wenn man geeignete Summationsverfahren anwendet.
Verallgemeinerungen der obigen Gleichungen sind \[ \Delta_{\omega_1\dots \omega_n}^n F(x) =\varphi(x),\;\nabla_{\omega_1\dots \omega_n} G(x) \varphi(x), \] wo die links stehenden Symbole eine leicht verständliche Bedeutung haben. Zum Schluß kommen Angaben über die lineare homogene Differenzengleichung \[ \sum_{i =0}^n p_i(x)f(x + i) = 0. \] Dabei wird zunächst über den Poincaréschen Satz mit den daran anknüpfenden Untersuchungen berichtet, und schließlich werden verschiedene Darstellungen der analytischen Lösungen gegeben, hauptsächlich mit Benutzung konvergenter Fakultätenreihen.

Subjects:
Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 11. Differenzengleichungen und verwandte Funktionalgleichungen. Analytische Theorie der Kettenbrüche.
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