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Beiträge zur Konvergenztheorie der Stieltjesschen Kettenbrüche. (German) JFM 47.0428.01

Sei \(c_0, c_1, c_2, \ldots\) eine Folge reeller Zahlen derart, daß die Determinanten \[ C_{n-1} =\left|\begin{matrix} c_0&c_1&\dots &c_{n-1}\\ c_1&c_2&\dots &c_n\\ \ldots\\ c_{n-1}&c_n&\dots &c_{2n-2} \end{matrix} \right|,\;B_n =\left|\begin{matrix} c_1&c_2&\dots &c_n\\ c_2&c_3&\dots &c_{n +1}\\ \ldots\\ c_n&c_{n +1} & \dots & c_{2n-1} \end{matrix}\right| \] für \(n =1, 2, 3, \dots\) sämtlich positiv sind. Dann sind auch die \(c_\nu\) sämtlich positiv, und es ist, bekannt, daß der mit der Reihe \[ \frac {c_0}{z}- \frac {c_1}{z^2} + \frac {c_2}{z^3}- +\cdots \] korrespondierende Kettenbruch \[ K(z)\equiv \frac{1\mid}{a_1z} +\frac{1\mid}{a_2} +\frac{1\mid}{a_3z} +\frac{1\mid}{a_4} +\cdots \] existiert, und zwar sind alle \(a_\nu\) positiv (Stieltjesscher Kettenbruch). Es ist r bekannt, daß der Kettenbruch für alle \(z,\) die nicht der negativen reellen angehören, konvergiert oder divergiert, je nachdem die Reihe \(\sum a_\nu\) divergiert oder konvergiert, und daß das Stieltjessche Momentenproblem, d. h. die Bestimmung einer monoton wachsenden Funktion \(\varphi (u),\) die den Gleichungen \[ (1) \quad \int_0^\infty u^\nu d\varphi (u) = c_\nu \;(v = 0,1, 2, \dots) \] genügt, im ersten Fall bestimmt ist, d. h. nur eine Lösung hat, im zweiten Fall aber unbestimmt ist, d. h. unendlich viele Lösungen hat. Hamburger unterwirft nun die \(c_\nu\) der weiteren Bedingung \[ (2)\quad c_\nu \leqq \varrho^\nu(2\nu)! \] und findet, daß dann der erste Fall vorliegt. Er geht dabei einen prinzipiell neuen Weg; während man seither bei ähnlichen Untersuchungen stets darauf ausging, die Konvergenz des Kettenbruches zu beweisen, woraus dann die Bestimmtheit des Momentenproblems folgt beweist Hamburger durch direkte funktionentheoretische Überlegungen, daß das Momentenproblem nur eine Lösung hat, und daraus folgt dann rückwärts auch die Konvergenz des Kettenbrauches. Diese Untersuchungen werden noch vervollständigt durch den Nachweis, daß die Ungleichung (2) in gewissem Sinn das stärkste Anwachsen der Koeffizienten \(c_\nu\) angibt, das zulässig ist, um die Bestimmtheit des Momentenproblems zu erzwingen. Verf. gibt nämlich ein Beispiel einer Folge \(c_\nu,\) für die \[ c_{\nu-1} \leqq 4\Gamma (2\nu + \nu \delta_\nu),\;\delta_\nu> 0, \;\lim_{\nu \to \infty}\delta_\nu = 0 \] ist und bei der das Momentenproblem unbestimmt ist, der Kettenbruch also divergiert.
Im Schlußparagraphen wird das Momentenproblem erweitert, indem die Voraussetzung \(C_{n- 1} > 0\) beibehalten wird, während über die \(B_n\) nichts vorausgesetzt ist. An Stelle des korrespondierenden Kettenbruches muß man dann den assoziierten betrachten, und an Stelle der Momentengleichungen (1) treten die folgenden: \[ \int_{-\infty}^\infty u^\nu d\varphi (u) = c_\nu \;(v = 0,1, 2, \dots ). \] Verf. zeigt, daß das so erweiterte Momentenproblem sicher bestimmt ist, wenn die Koeffizienten \(c_\nu\) der Ungleichung \(| c_\nu| \leqq \varrho^\nu \nu!\) genügen, und zagt weiter, diese Ungleichung wieder das stärkste zulässige Wachstum der \(| c_\nu|\) angibt.
In § 3 gibt der Verf. eine mit dem übrigen Inhalt nicht zusammenhängende interessante Anwendung seiner funktionentheoretischen Hilfsbetrachtungen. Seien \(\beta, \gamma\) zwei positive Zahlen. Bestimmt man dann die Konstanten \(c_{\nu \mu}\) so, daß die Funktionen \[ \begin{aligned} \varphi_0(x)&=c_{00}e^{-\gamma x},\\ \varphi_1(x)&=(c_{10} +c_{11}x^\beta)e^{-\gamma x},\\ \varphi_2(x)&=(c_{20} +c_{21}x^\beta +c_{22}x^{2\beta})e^{-\gamma x},\\ \ldots\end{aligned} \] im Intervall \(0 \leqq x < \infty\) ein normiertes System von Orthogonalfunktionen sind, so ist dieses System dann und nur dann abgeschlossen, wenn \(\beta \leqq 2\) ist. (IV 2, 7.)

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