×

On the Lie-Riemann-Hehnholtz-Hilbert problem of the foundations, of geometry. (English) JFM 47.0513.02

Hilbert (Math. Ann. 56, 381; F. d. M. 33, 486 (JFM 33.0486.*), 1902; Anhang IV der “Grundlagen der Geometrie”) hat die Euklidische und die Bolyai-Lobatschefskysche Geometrie in der Ebene auf Grund ganz weniger Bewegungsaxiome aufgebaut, wobei die Bewegungen in allgemeiner Weise als umkehrbar-eindeutige und stetige Transformationen eingeführt werden, welche gewisse; in den Axiomen geforderte Eigenschaften besitzen sollen; dagegen wird bei Hilbert für den Raum, auf welchen sich diese Transformationen beziehen, also für die “Ebene” von vornherein angenommen, daßsie eine “Zahlen-Mannigfaltigkeit” sei. Eine diesbezügliche kritische Bemerkung Poincarés hat den Verf. veranlaßt, einen derartigen axiomatischen Aufbau der ebenen Geometrie vorzunehmen, wobei die Voraussetzung der Ebene als Zahlen-Mannigfaltigkeit nicht gemacht wird, so daßalso nicht wie bei Hilbert nur eine axiomatische Analyse der Bewegung vorgenommen wird, sondern eine gleichzeitige axiomatische Analyse von Bewegung und Ebene erzielt wird. – Als (undefinierte) Grundbegriffe werden vom Verf. zugrunde gelegt: 1. die Punkte, deren Gesamtheit mit \(\overline S\) bezeichnet wird; 2. gewisse Punktmengen, die Gebiete; 3. gewisse umkehrbar-eindeutige Transformationen von \(\overline S\) in sich, die Bewegungen. Für diese drei Grundbegriffe werden zun 12 Axiome aufgestellt, deren gegenseitige Unabhängigkeit im letzten §nachgewiesen wird. Die Hilbertschen Axiome entsprechen unmittelbar einigen der hier aufgestellten Axiome bzw. einer daraus abgeleiteten Folgerung. Die Enwicklungen werden soweit geführt, bis ersichtlich ist, daßdas Punktsystem \(\overline S\) auf Grund der Axiome unkehrbar-eindeutig und stetig auf die Zahlenebene abgebildet werden kann; damit ist der volle Anschlußan Hilbert gewonnen. Überlegungen weisen, abgesehen von einigen Hilbertschen Gedankengängen such eine Reihe von Berührungspunkten mit einer früheren Arbeit des Verf. auf. (American M. S. Trans. 17, 131; F. d. M. 46, 828 (JFM 46.0828.*), 1916.)
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI