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Concerning simple continuous curves. (English) JFM 47.0519.08

Unter den verschiedenen für geschlossene Kurven bzw. für Kurvenbögen gegebenen Definitionen werden diejenigen besonderes Interesse beanspruchen, die allemal – oder doch angewendet auf Punktmengen in euklidischen Räumen \(R_n\) – genau auf die eineindeutigen stetigen Bilder des Kreises und der Strecke (Jordankurven und Jordanbögen) führen. In dieser Hinsicht sind folgenden u. a. von Moore untersuchten Definitionen a) des einfachen stetigen Bogens von \(A\) nach \(B,\) bzw. b) der einfachen geschlossenen Kurve bemerkenswert: als abgeschlossene zusammenhängende Punktmenge, welche a) \(A, B\) enthält, so daß\(M - A\) und \(M - B\) zusammenhängend sind, \(M - P\) aber für jedes \(P \neq A, B\) in zwei zusammenhängende Teilmengen zerfällt, deren keine einen Häufungspunkt der anderen enthält, bzw. b) beschränkt ist und bei Wegnahme irgend zweier ihrer Punkte zerfällt. Es wird bewiesen, daßim euklidischen \(R_2,\) bzw. in allgemeinen gewisse Axiome erfüllenden Räumen nur die Jordanbögen bzw. Jordankurven diesen Bedingungen genügen. Eine Reihe weiterer Definitionen stützt sich auf andere Gesichtspunkte, die auch zur Unterscheidung zwischen offenen Kurven, geschlossenen Kurven, Bögen und Strahlen benutzt werden und wobei der Begriff der “stetigen Menge von Häufungspunkten” eine Rolle spielt. (III.)

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