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Axial symmetrische kubische Raumkurven. (German) JFM 47.0614.04
Zwei gleichseitige Dreiecke in parallelen Ebenen, deren Schwerpunkte in einer Normalen \(v\) ihrer Ebenen liegen, und von deren Ecken keine vier in einer Ebene liegen, sind einer kubischen Raumkurve \(r^3\) eingeschrieben, die durch eine Dritteldrehung um \(v\) in sich selbst übergeht. Diese \(r^3\) liegt auf einem Rotationshyperboloid \(R^2,\) das \(v\) zur Rotationsachse hat. Die drei Schmiegungsstrahlen \(a, b, c\) von \(r^3,\) die \(v\) im Mittelpunkte \(O\) von \(R^2\) rechtwinklig schneiden, sind Symmetrieachsen von \(r^3.\) Sie schneiden einander unter \(120^\circ\). \(r^3\) heiße “dreifach axial”. \(r\) ist Hauptachse von \(\infty^1\) Nullräumen \(N_r.\) In jedem von diesen ist \(r^3\) eine dreifach axiale \(r_1^3\) zugeordnet mit den gleichen Symmetrieachsen \(a, b, c.\) Die \(\infty^1\) gescharten Kollineationen, die alle Punkte und Ebenen von \(v\) und der unendlich fernen Gerade \(v'\) aller zu \(v\) normalen Ebenen in Ruhe lassen, transformieren \(r^3\) in \(\infty^1\) andere dreifach axiale \(r_2^3\) mit denselben Achsen. Die polaren Korrelationen der \(\infty^2\) Rotationsflächen \(R^2,\) die \(a, b, c\) zu Symmetrieachsen, also \(v\) zur Rotationsachse haben, transformieren \(r^3\) in \(\infty^2\) andere dreifach axiale Kurven mit denselben Achsen. Es gibt ferner \(\infty^2\) axiale und \(\infty^1\) perspektive Kollineationen, die \(r^3\) in dreifach axiale Kurven überführen, die dieselben Achsen besitzen.
Die drei Geraden \(a, b, c\) sind Symmetrieachsen von \(\infty^2\) dreifach axialen kubischen Raumkurven \(r^3.\) Jeder der \(\infty^1\) Nullräume mit der Hauptachse \(v\) hat \(\infty^1\) von ihnen zu Nullkurven und ordnet die übrigen einander paarweise zu. Die \(\infty^2 r^3\) sind paarweise reziprok polar bezüglich der \(R^2\) mit den Symmetrieachsen \(a, b, c.\) Sie werden ineinander übergeführt durch \(\infty^2\) axiale und \(\infty^1\) perspektive Kollineationen. Durch jeden Punkt \(P\) geht im allgemeinen eine von ihnen. Jede der \(\infty^2\) halbgescharten Kollineationen, die \(a, b, c\) mit ihren Polaren für \(R_i^2\) vertauschen, führt die \(\infty^2r^3\) ineinander über. Durch eine Kollineation oder Korrelation gehen die \(r^3\) in \(\infty^2\) Kurven \(s^3\) über, die in drei geschart involutorischen Räumen sich selbst zugeordnet sind und deren drei Paare reelle Involutionsachsen zu gemeinsamen, paarweise assoziierten Schmiegungsstrahlen haben.
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