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Recherches sur les involutions douées d’un nombre fini de points de coincidence appartenant à une surface algébrique. (French) JFM 47.0621.02

Die Untersuchungen von Enriques und Severi über die hyperelliptischen Flächen haben für algebraische Flächen zu den Involutionen geführt, die mit einer endlichen Anzahl von Koinzidenzen behaftet sind. Eine hyperelliptische Fläche ist das Bild einer solchen, zu einer Jacobischen Fläche gehörenden Involution. Die letztere wird erzeugt durch eine Gruppe birationaler Transformationen der Jacobischen Fläche in sich selbst.
Man kann auf diese Weise projektive Modelle der verschiedenen hyperelliptischen Flächen herstellen. Dabei ist vorausgesetzt, daß die Involutionen nur eine endliche Anzahl von Koinzidenzpunkten besitzen. Der Verfasser erweitert jetzt diese Sätze auf beliebige Flächen: Eine, mit einer endlichen Anzahl von Koinzidenzpunkten behaftete Involution \(I\) auf einer algebraischen Fläche läßt sich erzeugen durch eine Gruppe birationaler Transformationen, die die Fläche in sich selbst überführen. Das bedeutet, daß die Punkte einer Gruppe von \(I_n\) rational voneinander abhängen. Auf \(F\) läßt sich ein kontinuierliches vollständiges System \(\{C\}\) mit gewissen Grundeigenschaften finden; vermöge der Involution \(I_n\) gehen die Kurven \(C\) in Kurven K über. Dann läßt sich zeigen, daß das. entsprechende System \(\{K\}\) von einer Dimension ist, die die von \(\{C\}\) übertrifft, und daß seine erzeugende Kurve von variabeln Doppelpunkten frei ist, nur vorausgesetzt, daß die Kurven \(K\) irreduzibel sind.
Dies führt aber auf einen Widerspruch; die Kurven \(K\) sind also reduzibel und zerlegen sich in der Tat in \(n-1\) variable Kurven. Hieraus folgt die im Eingange erwähnte Eigenschaft der Involutionen \(I_n.\)
Weiterhin wird der besondere Fall verfolgt, daß die Ordnung \(n\) der Involution eine Primzahl \(p\) ist. Dann lassen sich gewisse Normalflächen \(P\) herstellen, die diese Involutionen repräsentieren; insbesondere lassen sich die Verzweigungspunkte der Flächen \(P\) genau angeben. Endlich wird noch auf Beziehungen der \(I_p\) zu den Invarianten der Fläche \(F\) eingegangen.

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Full Text: DOI Numdam EuDML