Sur les courbes à torsion constante. (French) JFM 47.0670.02

Gambier, B.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 36, 263-409 (1919); 37, 117-164 (1920).

Diese umfangreiche Veröffentlichung ist die Bearbeitung einer von der Pariser Académie des Sciences für Januar 1915 gestellten Preisaufgabe, die Theorie der Raumkurven konstanter Windung zu vervollkommnen und, wenn möglich, die algebraischen oder wenigstens die einzügigen (unikursalen) unter ihnen zu bestimmen. Dem Verfasser ist es gelungen, über die bereits vorhandenen, recht vereinzelten Ergebnisse hinaus eine große Mannigfaltigkeit von neuen Typen algebraischer Raumkurven konstanter Windung zu ermitteln, sowohl unikursaler, wie auch solcher von nicht verschwindendem Geschlechte.
Nach einer kurzen Einleitung, in der über die vorher erschienenen französischen Arbeiten über diesen Gegenstand kurz berichtet wird, zerfällt die vorliegende Abhandlung in fünf längere Kapitel, deren Inhalt durch die folgenden Überschriften gekennzeichnet wird: I. Rückblick auf einige frühere Ergebnisse. II. Besondere Untersuchung der algebraischen Kurven. III. Verschiedene Beispiele algebraischer imaginärer und reeller Unikursalkurven. IV. Symmetrieeigenschaften, Rotationssymmetrie. Beispiele von Unikursalkurven, die eine willkürliche Zahl unendlich ferner Punkte enthalten. Kurven, deren sphärische Indikatrix der Binormalen nicht einzügig ist. V. Imaginäre und reelle algebraische Kurven von nicht verschwindendem Geschlecht. Zum Schluß ist noch eine Note angefügt: Direkte Untersuchung der Unikursalkurven konstanter Windung.
Der Natur der Sache nach sind die gefundenen Ergebnisse besonders in rein rechnerischer Beziehung nicht einfach, so daß es im Rahmen dieses Referates nicht möglich ist, sie im einzelnen wiederzugeben. Ist \((h, k, l)\) ein beliebiger Punkt auf einer von \(O\) ausgehenden erzeugenden Geraden des Kegels, dessen Leitkurve die sphärische Indikatrix der Binormalen der Raumkurve konstanter Torsion \(1 : \tau\) ist, so gilt für die Koordinaten \(x, y, z\) des entsprechenden Punktes dieser Raumkurve \[ x =\tau\int \frac{ldk-kdl}{h^2 +k^2 +l^2},\;y =\tau\int \frac{hdl-ldh}{h^2 +k^2 +l^2},\;z =\tau\int \frac{kdh- hdk}{h^2 +k^2 +l^2}. \] Bei einer algebraischen Kurve muß notwendigerweise (aber nicht hinreichend) auch der genannte Kegel algebraisch sein. Schneidet man ihn durch eine Ebene, z. B. \(z =1,\) so hat die entstehende Kurve \(F(\xi, \eta) = 0\) dasselbe Geschlecht wie die Raumkurve ; \(\xi, \eta\) bedeuten dabei Koordinaten in der Ebene der Schnittkurve. Die Koeffizienten des Polynoms \(F(\xi, \eta)\) müssen nun so bestimmt werden, daß die obigen Integrale, in denen man jetzt \(h = \xi, k = \eta, l = 1\) zu setzen hat, algebraisch werden, d. h. die bei der Integration auftretenden logarithmischen Glieder verschwinden. Die Durchführung des Gedankens wird erleichtert durch die Bemerkung, daß die einzige Singularität der Integrale die Minimalgeraden sind, längs denen \(h^2 + k^2 +l^2 = 0\) ist. Andere brauchbare Formeln ergeben sich, indem man die Richtungskosinus \(c, c', c''\) der Binormale in bekannter Weise durch zwei Parameter darstellt, so daß \(c^2 + c^{\prime 2}+c^{\prime\prime 2}= 1\) identisch erfüllt ist, z. B. \[ c +ic' = \frac{2\alpha}{1 +\alpha\beta},\;c-ic' = \frac{2\beta}{1 +\alpha\beta},\;c'' = \frac{\alpha\beta- 1}{\alpha\beta +1}, \] wo jetzt \[ x +iy =2i\tau \int \frac{d\alpha +\alpha^2d\beta}{(1 +\alpha\beta)^2},\;x -iy =-2i\tau\int \frac{d\beta +\beta^2d\alpha}{(1 +\alpha\beta)^2},\;z =2i\tau \int \frac{\beta b\alpha-\alpha d \beta}{(1 +\alpha\beta)^2} \] wird. Man hat dann \(\alpha, \beta\) als rationale Funktionen eines Parameters \(q\) anzusetzen, den man zweckmäßig so wählt, daß \(q = 0\) und \(q = \infty\) die Minimalgeraden \(x + iy = 0\) und \(x - zy = 0\) liefern. Auf diesen Wegen ergeben sich zwanglos die älteren Resultate von Lyon und von Fabry.

Reviewer: Rothe, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. C. Allgemeine Theorie der Raumkurven, Flächen und Strahlensysteme. Besondere Raumkurven und Flächen, Strahlen- und Flächensysteme.