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Beiträge zu einer allgemeinen linearen Mannigfaltigkeitslehre. (German) JFM 47.0686.03
Gegenstand der Königschen Theorie ist eine lineare Schar \(n\)-gliedriger Funktionensysteme irgendwelcher Variablen \(t_i\) welche eine \(n\)-gliedrige Basis besitzt. Neben der ursprünglichen Schar wird die adjungierte betrachtet. Unter dieses allgemeine Schema lassen sich sowohl die Untersuchungen des Verf. über “Riemannsche Funktionensysteme” unterordnen wie auch die Infinitesimalgeometrie, insbesondere die Theorie des affinen Zusammenhangs und der Krümmung nach den Arbeiten von Hessenberg, Levi-Civita und Weyl; auch die Lehre von den in einen Raum eingebetteten Mannigfaltigkeiten niederer Dimensionszahl fällt darunter. Die Funktionensysteme werden hier gebildet von den zu irgeneinem Koordinatensystem gehörigen Einheitsvektoren; der affine Zusammenhang ergibt sich auf Grund der Voraussetzung, daß die Ableitung eines Funktionensystems der Schar nach \(t_i\) wieder der Schar angehört; eine Riemannsche Metrik gewinnt man, wenn die adjungierte Schar mit der ursprünglichen zusammenfällt. Das Schema stimmt insofern nicht ganz, als es der Willkürlichkeit und Veränderlichkeit des geodätischen, bzw. orthogonalen Koordinatensystems \(t_i\) nicht Rechnung trägt. Davon abgesehen, enthält es aber die folgenden wesentlichen Verallgemeinerungen:
1. Die zugrunde liegende lineare Vektorübertragung braucht nicht symmetrisch zu sein (hier knüpfen spätere Arbeiten von Schouten an).
2. Das mit jedem Punkt der Mannigfaltigkeit zu verbindende lineare Gebilde, das von Punkt zu Punkt linear “übertragen” wird, braucht nicht der zentrierte affine Tangentenraum zu sein.

Subjects:
Fünfter Abschnitt. Geometrie. Kapitel 6. Differentialgeometrie. E. Gebilde in Räumen von mehr als drei Dimensionen.
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Full Text: EuDML