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Parallelismo e curvatura in una varietà qualunque. (Italian) JFM 47.0688.03

“Natürliche” Definition des Parallelismus in einer beliebigen Mannigfaltigkeit (vgl. Levi-Civita, Palermo Rend. 1917). Die Metrik ist erklärt durch \[ ds^2 =\sum_{i =1}^n \psi_i^2,\;\psi_i =\sum_{r =1}^n \lambda_{i,r}dx_r. \] Für drei Systeme von Differentialen \(d, d', d''\) soll \(dd'f = d'df\) sein \((f\) eine Funktion des Punktes \(x)\) und \[ d'\psi_i =\sum_{h,k}\gamma_{ihk}\psi_h\psi_k',\;d''\sum_{i =1}^n \psi_i \psi_i' =0\;\text{(Starrheitsbedingung).} \] Dann sind die \(\gamma_{ihk}\) notwendig Riccis “Koeffizienten der Rotation”. Setzt man \(z_i = \psi_i /ds,\) so hat man die hemisymmetrische Form der Gleichungen des Parallelismus. Die Eigenschaften der geodätischen Linien, sowie die durch Levi- Civita gegebene geometrische Deutung der Riemannschen Krümmung folgen daraus unmittelbar. (VII.)

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References:

[1] VediRendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XLII (1917).
[2] Cfr.Sulla curvatura delle superficie e varietà. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, t. XLII (1917).
[3] Cfr.Sui gruppi continui di movimenti in una varietà qualunque a tre dimensioni. Memorie dei XL, Serie III, t. XII (1899), pag. 74.
[4] VeggasiRicci,Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque. Memorie dei Lincei, 1896, pag. 294.
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