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L’analyse des tenseurs antisymétriques et les formes symboliques de différentielles. (French) JFM 47.0698.03
Ein Tensor heißt antisymmetrisch, wenn zwei seiner Komponenten, die sieh nur durch die Reihenfolge ihrer Indizes unterscheiden, gleich oder entgegengesetzt sind, je nachdem die Permutationen der beiden Indexgruppen zur selben oder entgegengesetzten Klasse gehören. Wenn z. B. \(F_{\lambda \mu}\) die kovarianten Komponenten eines solchen Tensors \(F\) sind, so kann man ihm die Form \(\omega =\sum F_{\lambda \mu}dx_\lambda dx_\mu\) zuordnen, und wenn eine Metrik \(\sum g_{ik}dx_idx_k\) gegeben ist, so wird durch die Substitution \(dx_i\|\sum g^{(ik)} dx_k\) aus \(\omega\) die Form \(\overline \omega = \sum F^{\lambda \mu}dx_\lambda dx_\mu,\) deren Koeffizienten die kontravarianten Komponenten von \(F\) sind. Die Divergenz von \(F\) ist ein Vektor und allgemein die eines Tensors \(p\)-ter Stufe ein Tensor \((p- 1)\)-ter Stufe.
Die elektromagnetischen Feldgleichungen werden \(\text{rot} F = 0\) und \(\text{div}F = S,\) wo \(S\) der kontravariante Vektor ist, welcher den Viererstrom darstellt.
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Full Text: Gallica