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Le parallélisme de Mr. Levi-Civita et la courbure riemannienne. (French) JFM 47.0800.02
Der Verf. geht von den Formeln aus, die nach Levi-Civita die Zuwüchse \(\delta \xi_i\) definieren, die zu den Komponenten \(\xi_i\) eines Vektors in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit hinzutreten, wenn man ihn längs einer vorgegebenen Kurve parallel verschiebt. Die \(\delta \xi_i\) werden dann Linienfunktionen dieser Kurve im Sinne von Volterra. Sie genügen der linearen Integralgleichung \[ \delta \xi_k' =-\int\sum_{\lambda\mu} \left\{\begin{matrix} \lambda\mu\\ k\end{matrix} \right\}' dx_k'(\xi_\mu +\delta \xi_\mu'), \] wo die gestrichelten Größen die Werte an einem beliebigen Punkt \(x_k'\) der Kurve bedeuten und das Integral längs der Kurve zu erstrecken ist. Setzt man voraus, daß die Kurve klein ist und \(\varepsilon\) ihre lineare Ausdehnung, so löst der Verf. die Integralgleichung durch sukzessive Approximation und berechnet den Wert von \(\delta \xi_i\) für den Fall einer geschlossenen kleinen Kurve, die in einer vorgegebenen zweidimensionalen Ebene liegt. Die Rechnung läßt sich bei Vernachlässigung von Größen der Ordnung \(\varepsilon^3\) für eine beliebige Gestalt der Kurve durchführen und ergibt \(\delta \xi_i\) als linear in den \(\xi_i,\) den Ebenenkoordinaten der vorgegebenen Ebene und den Riemannschen Vierindizessymbolen. Man kann diese Formel auch durch Differentiation der definierten Linienfunktion nach der vorgegebenen Ebene erhalten. Man kommt so zu der Riemannschen Krümmung in der Richtung einer gegebenen Ebene als Differentialquotient einer Linienfunktion. Geometrisch läßt sich diese Krümmung so definieren: man läßt den Vektor \(\xi_i\) eine kleine ebene Kurve umlaufen, projiziert den Zuwachs bei diesem Umlauf auf die betreffende Ebene und dividiert durch den Flächeninhalt der Kurve. Schließlich geht man zur Grenze über.

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