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Untersuchungen über die Gleichgewichtsfiguren rotierender Flüssigkeiten, deren Teilchen einander nach dem Newtonschen Gesetze anziehen. 2. Abhandlung. Stabilitätsbetrachtungen. (German) JFM 47.0851.02
In der vorliegenden Arbeit werden die in der ersten Abhandlung begonnenen Untersuchungen fortgesetzt (vgl. F. d. M. 46, 1401 (JFM 46.1401.*), 1915-18). An jener Stelle sind allgemeine Existenzsätze, insbesondere die Existenz der zuerst von Poincaré postulierten Verzweigungsfiguren bewiesen worden. In dem ersten und dem dritten Kapitel der neuen Arbeit wird der Existenzsatz noch einmal in vereinfachter Form wiedergegeben. Mit Rücksicht auf spätere Anwendungen sind die Ergebnisse zuletzt auf den allgemeineren Fall einer Flüssigkeit, die von äußeren Feldern beeinflußt wird, ausgedehnt worden. Als äußere Felder kommen namentlich Gravitationsfelder mitrotierender starrer Massen in Betracht. Auch das von Laplace behandelte Problem des Gleichgewichtes einer über einem starren Kerne ausgebreiteten ruhenden Flüssigkeitsschicht gehört hierher. In §§ 4 und 5 des dritten Kapitels wird eine Reihe neuer allgemeiner Sätze über Verzweigungsfiguren abgeleitet.
Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit der Integralgleichung \[ \psi \zeta +\nu\int_S \frac 1\varrho \zeta'd\sigma' =0. \] Ist \(T\) ein Rotationskörper um die \(z\)-Achse, so haben die Eigenfunktionen entweder Rotationssymmetrie um die \(z\)-Achse, oder sie treten paarweise auf und sind von der Form \[ {\mathfrak F}_1({\mathfrak s})\cos k{\mathfrak d},\;{\mathfrak F}_1({\mathfrak s})\sin k{\mathfrak d}. \] Hier bezeichnet \(\mathfrak s\) die Bogenlänge einer Meridiankurve, \(\mathfrak d\) den Azimutwinkel, \(k\) eine ganze Zahl. Der Kern \( \frac 1\varrho\) ist positiv definit und abgeschlossen.
Das vierte und das fünfte Kapitel sind den Stabilitätsbetrachtungen gewidmet. Die Frage, wann eine Gleichgewichtsfigur als stabil zu bezeichnen ist, ist vielfach erörtert worden, kann aber noch keineswegs als definitiv beantwortet gelten. Den Betrachtungen der vorliegenden Arbeit liegt das folgende von Thomson und Tait, Poincaré und Liapounoff benutzte Kriterium zugrunde.
Es sei \(J\) das Trägheitsmoment von \(T.\) Das Moment der Bewegungsgröße um die Umdrehungsachse ist gleich \(\omega J.\) Es sei \(T_1\) irgendein Körper in der Nachbarschaft erster Ordnung von \(T,\) der folgende Eigenschaften hat. Die Volumina zusammengehöriger Einzelmassen von \(T_1\) und \(T\) sind einander gleich. Der Schwerpunkt von \(T_1\) deckt sich mit demjenigen von \(T.\) Das Trägheitsmoment von \(T_1\) in bezug auf die Rotationsachse sei \(J_1.\) Wird zur Vereinfachung \( \frac {\omega^2 J^2}{f \kappa} = \tilde M\) gesetzt, so soll \(T\) stabil heißen, wenn der Ausdruck \[ \Lambda_1 = \frac{\tilde M}{J_1}-\iint_{T_1} \frac{d\nu d\overline \nu}{D}, \] unter \(dv\) und \(d\overline v\) Volumenelemente von \(T\) und \(T_1,\) unter \(D\) ihre Entfernung verstanden, für die gegebene Gleichgewichtsfigur den kleinsten Wert annimmt.
In den beiden ersten Paragraphen des 4. Kapitels wird unter Benutzung der Methoden und der Resultate des 1. Kapitels durch ganz einfache Überlegungen der vollständige Ausdruck für \(\Lambda_1 - \Lambda =\Lambda ^{(2)} +\Lambda ^{(3)} +\Lambda ^{(4)} + \cdots \) für beliebige Gleichgewichtsfiguren abgeleitet. Für den Rest \(\Lambda ^{(3)} +\Lambda ^{(4)} + \cdots \) ergibt sich dabei ohne jede Schwierigkeit die zu der früher von Liapounoff angegebenen analoge, allgemein gültige Abschätzung.
Die Diskussion des Ausdruckes \(\Lambda^{(2)}\) ergibt eine Anzahl Stabilitätskriterien. Der Stabilitätscharakter einer Gleichgewichtsfigur \(T\) hängt davon ab, ob der kleinste Eigenwert \(\mu_1\) einer gewissen Integralgleichung \(> 1, =1\) oder \(< 1\) ist. Ist \(\mu_1 > 1,\) so ist \(T\) stabil, ist \(\mu_1 < 1,\) so ist \(T\) labil. Der besondere Fall \(\mu_1=1\) erfordert weitere vertiefte Betrachtungen. In dem 5. Kapitel werden einige Kriterien für die Untersuchung des Stabilitätscharakters einer linearen Reihe von Gleichgewichtsfiguren in der Nachbarschaft einer zu \(\mu_1 =1\) gehörigen Gleichgewichtsfigur angegeben. Als ein Anwendungsbeispiel der allgemeinen Theorie wird in § 1 des 6. Kapitels das von Laplace und Poincaré betrachtete Problem des Gleichgewichtes einer über einem starren Kern ausgebreiteten Flüssigkeitsschicht ausführlicher behandelt. Hieran schließen sich in § 2 einige Bemerkungen über die Maclaurinschen und die Jacobischen Ellipsoide an.

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