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On the most general class \(L\) of Fréchet in which the Heine- Borel-Lebesgue theorem holds true. (English) JFM 47.0896.01

Ein Fréchetscher Limesraum (“class”) \(L\) wird ein Raum \(S\) genannt, wenn für jede Menge \(M\) von Punkten aus \(L\) die Menge der Häufungspunkte abgeschlossen ist. Eine Gesamtheit \(G\) von Mengen “überdeckt” die Menge \(M,\) wenn jeder Punkt von \(M\) innerer Punkt wenigstens einer Menge aus \(G\) ist. Nach Fréchet (S. M. F Bull. 45,1-8, 1917) gilt in jedem Raum \(S\) das Heine- Borelsche Theorem, daßjede von einer “abzählbaren” Gesamtheit \(G\) überdeckte kompakte abgeschlossene \(M\) bereits von einer endlichen Teilgesamtheit überdeckt wird. Schon Fréchet hatte sich mit der Frage nach jenen Räumen beschäftigt, in denen das weitergehende Heine-Borel- Lebesguesche Theorem gilt, in dem statt “abzählbaren” zu setzen ist “beliebigen”. (In Hausdorffs Theorie der Umgebungen sind hierfür die Abzählbarkeitsaxiome maßgebend.) Hier wird gezeigt: Unter den Räumen \(S\) sind das jene und nur jene, in welchen zu jeder kompakten Menge \(M\) und zu jeder monotonen Familie von Teilmengen \(N\) von \(M\) wenigstens ein allen \(N\) gemeinsamer Punkt existiert. (“Monotone Familie” heißt : von irgend zwei der Mengen \(N\) ist die eine ein Teil der andern.) “Kompakt im neuen Sinn” wird eine Menge \(M\) genannt, wenn es in dem \(M\) enthaltenden Raum zu jeder monotonen Familie von Teilmengen \(N\) von \(M\) wenigstens einen gemeinsamen Punkt oder gemeinsamen Häufungspunkt gibt; dann haben in jedem Raum \(S\) die im neuen Sinn kompakten abgeschlossenen Mengen \(M\) und nur sie die Eigenschaft, daßjede beliebige \(M\) überdeckende Gesamtheit \(G\) eine \(M\) überdeckende endliche Teilgesamtheit besitzt. Daßnicht jede im Fréchetschen Sinn kompakte Menge \(M\) es auch im neuen Sinne ist, wird an dem Beispiel eines Raumes \(S\) (nebst \(M = S\)) gezeigt, der – im Sinn von Hausdorffs Mengenlehre S. 214 ausgedrückt – der durch die Menge aller Ordinalzahlen < “Aleph eins” dargestellte topologische Raum ist. (V 2.)