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The confluent hypergeometric functions of two variables. (English) JFM 47.0930.03
Nach Appell gibt es vier hypergeometrische Funktionen von zwei Variablen, u. a. \[ F_2(\alpha ; \beta, \beta'; \gamma, \gamma'; x, y) =\sum_0^\infty \sum_0^\infty \frac{(\alpha, m +n)(\beta, m)(\beta', n)}{(\gamma, m)(\gamma', n)} \cdot \frac{x^m y^n}{m!n!} \] \[ \text{mit }(\lambda, n) = \frac{\Gamma (\lambda +n)}{\Gamma (\lambda)}\cdot \] Durch Grenzübergang leitet der Verf. hieraus 7 Funktionen ab, von denen die wichtigste ist, \[ \begin{aligned} \psi_2 (\alpha; \gamma, \gamma'; x, y)& =\lim_{{\beta \to \infty}\atop{\beta'\to \infty}} F_2\left( \alpha; \beta, \beta'; \gamma, \gamma'; \frac x\beta, \frac y{\beta'}\right)\\ & =\sum_0^\infty \sum_0^\infty \frac{(\alpha, m +n)}{(\gamma, m)(\gamma', n)} \frac{x^m y^n}{m!n!}.\end{aligned} \] Diese Funktionen erfüllen Systeme von Differentialgleichungen der Gestalt \[ r = a_1 s + a_2p + a_3q + a_4z,\;t = b_1s + b_2 p + b_3q + b_4z, \] wo die Koeffizienten \(a\) und \(b\) Funktionen von \(x\) und \(y\) sind.
Im ersten Teil dieser Arbeit (S. 73-84) leitet der Verf. verschiedene Eigenschaften seiner Funktionen ab, und Beziehungen zu den Appellschen Polynomen \(A_{m,n}(x, y),\) zu den Hermiteschen Polynomen \(H_{m, n}(x, y),\) und der Besselschen Funktion \(J_0(x, y);\) im zweiten Teil (S. 85-96) zeigt er die Wichtigkeit seiner Funktionen für die Lösung der Laplaceschen Gleichung \(\Delta u = 0\) im mehrdimensionalen Raum.

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