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Sur les pseudo-lignes d’infini dés intégrales doubles. (French) JFM 47.0932.04

Mehrere zu einer algebraischen Fläche gehörige Doppelintegrale zweiter Gattung heißen linear abhängig, wenn sich keine Linearkombination mit nicht sämtlich verschwindenden Koeffizienten in die Form \[ (1)\quad \iint \left(\frac {\partial P}{\partial x} +\frac {\partial Q}{\partial y}\right) dx dy \] bringen läßt, wobei \(P\) und \(Q\) rationale Funktionen auf der Fläche sind. Will man also feststellen, ob ein gegebenes Integral von der Art. (1) ist, so darf man sich nicht auf solche \(P\) und \(Q\) beschränken, deren Singularitäten mit denen des Integranden zusammenfallen; denn es können sich Singularitäten von \(\partial P/\partial x\) und \(\partial Q/\partial y\) aufheben. Der Verf. leitet Beispiele für dies Vorkommnis ab aus der Integraltransformation \[ (2)\quad \int_C XdY =\iint_S dX dY. \] Setzt man \[ X = \frac{\Phi (x, y)}{x-\alpha (y)},\;Y =Y(x, y), \] so daß\(x = \alpha (y)\) eine singuläre Linie des Integranden \(X\) in (2) wird, und soll das Integral \[ \iint dX dY =\iint \frac{(x-\alpha (y))(\Phi_x Y_y - \Phi_y Y_x)-\Phi (Y_y-\alpha' (y) Y_x)}{(x-\alpha (y))^2} dx dy \] bei \(x = \alpha(y)\) endlich bleiben, so müssen von den Bedingungen \[ (3)\quad \alpha' Y_x (\alpha, y) +Y_y (\alpha, y) =0, \;\Phi (\alpha, y) Y_x (\alpha, y) =C, \]
\[ \Phi(\alpha, y) Y_y (\alpha, y) =-\alpha' C \] zwei identisch in \(y\) erfüllt sein. Der Ansatz \[ \alpha =y, \;\Phi =\sqrt{P(x) P(y)}, \;Y =\int^y \frac{dy}{P(y)} - \int^x \frac{dx}{P(x)} \] gibt ein Beispiel und, bei Integration über ein Rechteck bzw. dessen Umfang, den Satz von der Vertauschung der Parameter und Argumente bei den zu \(\sqrt{P(x)}\) gehörigen hyperelliptischen Integralen dritter Gattung. Es wird eine Anzahl weiterer Ansätze durchgeführt. Die Hauptaufgabe ist immer die Bestimmung einer rationalen Lösung \(\alpha (y)\) der ersten Gleichung (3), wozu u. a. die Multiplikation der elliptischen Funktionen herangezogen wird. Ein Teil der Ergebnisse wird auf mehrfache Integrale übertragen.
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Full Text: DOI Numdam EuDML