Sur les singularités mobiles des intégrales des équations linéaires aux dérivées partielles et sur leur intégrale générale. (French) JFM 47.0946.01

Stoïlow, S.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 36, 235-262 (1919).

Der Verf. betrachtet eine lineare Differentialgleichung \(n\)-ter Ordnung mit der unbekannten Funktion \(u\) und den unabhängigen Veränderlichen \(x, y.\) Der Punkt \(x = y = 0\) sei ein Punkt allgemeiner Lage, und es sei, was man immer erreichen kann, \(x =\) konst. eine Schar von Charakteristiken und zwar eine genau \(k\)-fache. Dann kann man die Differentialgleichung symbolisch so schreiben: \[ a_0 (x, y) \left(\frac {\partial}{\partial x} +a_1 (x, y) \frac {\partial}{\partial y}\right) \cdots \left(\frac {\partial}{\partial x} +a_{n-k} \frac {\partial }{\partial y}\right)\frac {\partial^k u}{\partial y^k} =\Phi (u), \] wo in \(\Phi\) höchstens Ableitungen \((n -1)\)-ter Ordnung auftreten. Aus der für \(\Phi= 0\) auftretenden Lösung: \[ u_0 =\sum_{i =0}^{k-1}f_i(x) y^i \] mit den \(k\) willkürlichen Funktionen \(f_i(x)\) kann man durch sukzessive Approximationen eine Lösung der gegebenen Gleichung herstellen, die den Charakteristiken \(x =\) konst. entspricht, und die \(k\) willkürliche Funktionen von \(x\) enthält. Diese Lösung hat die Form einer unendlichen Reihe, die in einer gewissen von den willkürlichen Funktionen unabhängigen Umgebung von \(x = y = 0\) konvergieren. Dabei können die willkürlichen Funktionen beliebige Singularitäten haben, nur müssen sie sich für \(x = 0\) regulär verhalten. Nach einem Lemma, das der Verf. 1916 in seiner Thèse bewiesen hat, unterscheidet sich jede andere Lösung, die denselben Anfangsbedingungen genügt, von der hier konstruierten um eine in einer gewissen Umgebung von \(x = y = 0\) holomorphe Funktion. Ist \(k = n,\) so ist die aufgestellte Lösung, wie man jetzt sagt, die allgemeine; es gibt also dann unendlich viele eindeutige Lösungen mit einer beweglichen Singularität.
Der Verf. betrachtet sodann einen Ausdruck von der Form: \[ \Psi_n =\sum_{i =0}^n a_i (x, y) f_i (b_i (x, y)), \] wo die \(a_i, b_i\) gegebene Funktionen, die in einer gewissen Umgebung von \(x = y = 0\) holomorph sind, und wo die Ableitungen der \(b_i\) nach \(y\) in dieser Umgebung nirgends verschwinden. Er denkt sich ferner Funktionen \(\varphi_0(y), \varphi_1(y), \dots, \varphi_n(y)\) gegeben, die sich für \(y = 0\) regulär verhalten, und sucht die \(f_i\) so zu bestimmen, daß für \(x = 0\) die Gleichungen: \[ \varphi_\mu (y) =\left[ \frac {\partial^\mu \Psi_n}{\partial x^\mu}\right]_{x =0} \] erfüllt sind. Es stellt sich heraus, daß die Ausdrücke \(f_i(b_i(0, y))\) durch ein System von linearen homogenen Differentialgleichungen \(n\)-ter Ordnung definiert sind. Der Verf. zeigt, daß man die \(f_i\) sogar dann in der verlangten Weise bestimmen kann, wenn die \(\varphi_i\) willkürliche, aber in der Umgebung von \(y = 0\) holomorphe Funktionen sind. Denkt man sich nun die allgemeine Lösung konstruiert, indem man die früher hergestellte Lösung für jede einzelne Schar von Charakteristiken bildet und diese Lösungen addiert, so kann man, wieder durch sukzessive Approximationen, beweisen, daß die in dieser allgemeinen Lösung auftretenden willkürlichen Funktionen so gewählt werden können, daß die Anfangsbedingungen \[ \left(\frac {\partial^\mu u}{\partial x^\mu }\right)_{x =0} =\varphi_\mu (y)\;(\mu = 0, 1, \dots, n-1) \] befriedigt werden können, wenn die \(\varphi_\mu(y)\) willkürliche, für \(y = 0\) holomorphe Funktionen sind. Jene allgemeine Lösung umfaßt daher alle in der Umgebung von \(x = y = 0\) holomorphen Lösungen. Es folgen noch einige Bemerkungen über die bekannte Gleichung \(r = q\) und über Beziehungen der vorliegenden Untersuchungen zu denen von Leroux (1898). Endlich zeigt der Verf., daß sich ein einfaches Mittel ergibt, die hyperbolischen Differentialgleichungen zu charakterisieren, die nach der Methode von Laplace integrabel sind.

Reviewer: Engel, Prof. (Gießen)

JFM Section:

Nachtrag. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 12. Partielle Differentialgleichungen. Differentialausdrücke und Differentialinvarianten. Allgemeine Integrationsmethoden. Gruppentheoretische und funktionentheoretische Behandlung.