Surface transformations and their dynamical applications. (English) JFM 47.0985.03

Birkhoff, G. D.

Acta Math. 43, 1-119 (1920).

Die Integralkurven des konservativen Systems \[ \frac {d}{dt}\frac {\partial L}{\partial x'}-\frac {\partial L}{\partial x} =0;\;\frac {d}{dt}\frac {\partial L}{\partial y'}-\frac {\partial L}{\partial y} =0 \] mit einem bestimmten Wert \(h\) des Energieintegrals \[ y' \frac {\partial L}{\partial y'} +x'\frac {\partial L}{\partial x'} =h \] können als Kurven in einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit aufgefaßt werden. Unter ihnen sei eine periodische Bewegung dargestellt durch eine geschlossene Kurve. Legen wir ein Flächenstück an einer Stelle \(R\) der Kurve quer zu ihr, so wird es von hinreichend benachbarten Integralkurven wiederholt getroffen werden. So entsteht in den Parametern \(u, v\) des genannten Flächenstücks eine Transformation mit einem Fixpunkt, den wir als \(u = 0, v = 0\) annehmen können (Durchstoßpunkt der geschlossenen Bahn). Aus dem Studium dieser Transformationen entscheidet sich ersichtlich Stabilität und Instabilität. Bleibt bei dauernd wiederholter Transformation ein hinreichend benachbarter Punkt \(u, v\) in der Nähe des Fixpunktes, so ist die periodische Bewegung stabil, anderenfalls instabil. Danach werden auch die Transformationen stabil oder instabil genannt.
Existiert ein weiteres unabhängiges Integral \(G(x, y, x', y') = 0,\) so hat die Transformation eine Invariante. In diesem integrablen Falle kann die Transformation reell auf eine der Formen gebracht werden: \[ \begin{aligned} (1)\quad u_1& = \varrho u +\cdots, \;v_1 = \frac 1\varrho v +\text{höhere Glieder (hyperbolischer Fall}),\\ (2)\quad u_1& =u\cos \vartheta -v \sin \vartheta +\cdots, \;v_1 =u\sin \vartheta +v\cos \vartheta +\cdots \;(\text{elliptischer Fall}),\\ (3)\quad u_1& =\pm u +\cdots;\;v_1 =\pm v +d\cdot u +\cdots \;(d\neq 0, \text{ parabolischer Fall}).\end{aligned} \] Im hyperbolischen Fall existieren \(k > 0\) einparametrige analytische Familien von Bewegungen, die sich für \(t = \pm \infty\) der periodischen Bewegung annähern. Alle anderen Nachbarbewegungen nähern sich erst und entfernen sich dann von der geschlossenen Bahn. Im elliptischen Fall liegen die Bahnen auf einem Toras um die geschlossene Bahn, und die Koordinaten lassen sich als analytische periodische Funktionen der Winkelkoordinaten dieses Torus darstellen.
Im nichtintegrablen Fall liegen die Verhältnisse komplizierter, insbesondere gibt es im elliptischen Fall stabile und instabile Typen.
Wegen aller weiteren Einzelheiten sei auf die inhaltreiche Arbeit selbst verwiesen, die über die iterierten Substitutionen und ihre Normalisierung tiefgehende Untersuchungen enthält. (V 2.)

Reviewer: Hamel, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Nachtrag. Sechster Abschnitt. Mechanik. Kapitel 3. Statik und Dynamik der Punktsysteme und starrer Körper. Statistische Mechanik.

References:

[1]	Dynamical systems with two degrees of freedom. Transactions of the American Mathematical Society, vol. 18, 1917. · JFM 46.1174.01
[2]	Cf.E. Goursat,Sur les transformations ponctuelles qui conservent les volumes. Bulletin des Sciences Mathématiques, vol. 52, 1917. · JFM 46.0658.01
[3]	It should be observed that the definition refers to the vicinity of an invariant point.
[4]	SeeT. Levi-Civita,Sopra alcuni criteri di instabilità. Annali di Matematica, Ser. III vol. 5, 1901. · JFM 32.0720.01
[5]	This fact has been noted byC. L. Bouton,Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 23, 1916, p. 73. See alsoA. A. Bennett,A case of iteration in several variables, Annals of Mathematics, vol. 17, 1915–1916.
[6]	C. L. Bouton observed these facts in case II”,loc. cit..
[7]	Sur les courbes définies par les équations différentielles, Journal de mathématiques, ser. 3, vols. 7–8, 1881–1882 and ser. 4, vols. 1–2, 1885–1886. The analogy was explained partially by means of a limiting process byS. Lattés,Sur les équations fonctionelles qui définissent une courbe ou une surface invariante par une transformation, Annali di Matematica, ser. 3, vol. 13, 1907.
[8]	This is the “symbol of the infinitesimal transformation{” in the terminology ofLie.}
[9]	Cf.W. F. Osgood,Factorization of analytic functions of several variables, Annals of Mathematics, vol. 19, 1917–1918.
[10]	The presence of fractional powers means that the root indicated is to be formally extracted.
[11]	Sur l’itération et les solutions asymptotiques des équations différentielles, Bulletin de la Société Mathématique de France, vol. 29, 1901.
[12]	The linear terms taken are clearly large enough. The coefficients ofu m v n (m+n ) in either series is at least as large asKL m+n , which evidently exceeds numerically the coefficient ofu m v n inu 1 orv 1 ifK, L be chosen sufficiently large to begin with.
[13]	For a simple development of the properties of {\(\psi\)} (z) used here, seeK. P. Williams,The asymptotic form of the function {\(\psi\)} (x). Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 19, 1912–1913
[14]	SeeJ. F. Ritt,On the differentiability of asymptotic series. Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 24, 1917–1918, for a discussion of such differentiation.
[15]	Cf.W. F. Osgood,On the uniformisation of algebraic functions, Annals of Mathematics, vol. 14, 1912–1913, pp. 152–154.
[16]	It is apparent from this result that no other invariant curves through the invariant point can exist.
[17]	Levi-Civita (loc. cit.)Sopra alcuni criteri di instabilità. Annali di Matematica, Ser. III vol. 5, 1901. proved that certain nearly points are carried away from the invariant point in this and other hyperbolic cases, showing that the point is unstable. See alsoA. R. Cigala,Sopra un criterio di instabilità, Annali di Matematica, ser. 3, vol. 11, 1905.
[18]	Compare the method of proof with a proof given byH. Poincaré,Les methodes nouvelles de la mécanique céleste, vol. 3, Paris, 1899, pp. 149–151.
[19]	Introduced byPoincaré (loc. cit.Les methodes nouvelles de la mécanique céleste, vol. 3, Paris, 1899, pp. 149–151. § 8).
[20]	The assumptionc>0 is still made. This entails no specialization of course.
[21]	That is, a chain ofa (or {\(\omega\)}) points, each point arbitrarily near its successor, extending fromr=0 tor=d, can be found.
[22]	See my paper first cited.
[23]	See my paper first cited.
[24]	Continuous one-one transformations of surfaces in themselves, Proceedings of the Section of Sciences, Koninklijke Academie van Wetenschappen te Amsterdam, vols. 11–15 (1908–1912). In the last part of this paperBrouwer develops the notion ofclass of a transformation, given later by myself in the paper first cited without knowledge of his work.
[25]	SeeG. D. Birkhoff,Quelques théorèmes sur le mouvement des systèmes dynamiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, vol. 40, 1912. The reader will observe the complete analogy between the recurrent motions of that paper and recurrent point groups.
[26]	A periodic point group ofq pointsP, T(P),..., T q (P) is called hyperbolic ifP is hyperbolic underT q . A similar terminology is employed in generab.
[27]	The exceptional case in which there is a single recurrent point group whose minimal set fillsS is left out of consideration.
[28]	See my paper first cited.
[29]	In the simplest and general case I’,x, y may be expressed as convergent power series in {\(\rho\)}{\(\pm\)}{\(\tau\)} while we havet=c{\(\tau\)}+another power series of the same sort.
[30]	H. Poincaré,Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, vol. 1, Paris 1892, Chap. 5.
[31]	See my paper last cited.
[32]	The existence of recurrent motions of discontinuous type has been established byH. C. M. Morse,Certain types of geodesic motion on a surface of negative curvature, Harvard Dissertation, 1917.