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Sur l’équivalence des systèmes d’équations différentielles. (French) JFM 47.1010.01
Der Verf. zeigt durch Determinantenrechnungen, die zwar elementar, aber doch keineswegs leicht zu verfolgen sind, daß eine Mongesche Gleichung \[ (1)\quad f\left( y_1, \dots, y_{n +1}, \frac{dy_2}{dy_1}, \dots, \frac{dy_{n +1}}{dy_1}\right) =0, \] wenn man besondere Fälle ausschließt, durch ein Gleichungensystem von der Form \[ (1')\quad \begin{cases} V((y_1,\dots, y_{n +1}, a_1, \dots, a_n) =0, \sum_{\lambda =1}^{n +1} \frac {\partial V}{\partial y}dy_\lambda =0,\\ \sum_{\lambda =1}^{n +1} \frac {\partial}{\partial y_\lambda}\left(\frac {\partial V}{\partial a_i} \frac {\partial V}{\partial a_n}\right) \cdot y_\lambda =0\;(i =1,\dots, n-1) \end{cases} \] ersetzt werden kann. Dabei ist \(V = 0\) eine vollständige Lösung der zu (1) gehörigen partiellen Differentialgleichung 1. Ordnung \[ (4)\quad \Phi (y_1, \dots, y_{n +1}, p_1,\dots, p_n) =0. \] Kürzer gelangt man zu diesem Ergebnisse so: Man ersetze (1) durch das simultane System \[ (2')\quad dy_\nu =y_\nu' dy_1 (\nu =2, \dots, n +1),\;f(y_1, \dots, y_{n +1}, y_2', \dots, y_{n +1}') =0, \] dann kann man die Größen \(y_\mu, y_\nu',\) die durch \(f = 0\) gebunden sind, als Koordinaten der durch (4) definierten Elemente \(y_\lambda, p_i\) im Lieschen Sinne auffassen; zugleich sind (2’) diejenigen unter den Differentialgleichungen der charakteristischen Streifen von (4), die nur die Differentiale \(dy_\lambda\) enthalten. Ist nun \(V = 0\) eine vollständige Lösung von (4), so kann man auch die durch \(V\) gebundenen Größen \(y_\lambda, a_i\) als Koordinaten der Elemente von (4) benutzen und die Bedingung der vereinigten Lage wird durch die Gleichungen \[ V =0, \;dV =\sum \frac {\partial V}{\partial y_\lambda} dy_\lambda +\sum \frac {\partial V}{\partial a_i} da_i =0,\;\sum \frac {\partial V}{\partial y_\lambda} dy_\lambda =0 \] ausgedrückt. Die Differentialgleichungen der charakteristischen Streifen von (4) erhält man daher, wenn man in \[ \sum \left(\sigma \left(\frac {\partial V}{\partial y_\lambda}\right) dy_\lambda -d\left(\frac {\partial V}{\partial y_\lambda}\right) \delta y_\lambda \right) =0 \] die \(\delta y_\lambda, \delta a_i\) als willkürliche Größen betrachtet, die den Bedingungen der vereinigten Lage genügen. Zwischen den \(dy_\lambda\) allein erhält man bei in der Tat nur die Gleichungen (1’). Im Falle \(n = 2\) kommt man auf die von Monge gegebene. Lösung von (1).
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