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Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik. (Vorträge, gehalten im mathematischen Kolloquium Zürich.). (German) JFM 48.0047.14

Diese Abhandlung, die die bis 1919 erschienenen einschlägigen Arbeiten Weyls und Brouwers, nicht aber die (meist weniger grundsätzlichen) anderer “Intuitionisten” berücksichtigt, zerfällt in zwei Teile, von denen der erste kürzere den Gedanken Weyls, der zweite denen Brouwers gewidmet ist. Der erste Teil ist von wesentlich historischem Interesse insofern, als Weyl selbst seine eigene Theorie zugunsten der Brouwerschen aufgibt. Aber auch der zweite Teil enthält verschiedene Weyl eigentümliche Gedanken, die veranlaßt sind teils durch abweichende Meinungen Weyls über – auch wesentliche – Einzelfragen der Theorie Brouwers, teils durch die (für Weyl wie für andere bestehende) Unmöglichkeit, Brouwer restlos zu verstehen. Der zweite Teil darf also nur unter Vorbehalt als eine Darstellung der Gedanke Brouwers betrachtet werden.
Erster Teil (“Die atomistische Auffassung des Kontinuums”). Eine reelle Zahl, und allgemeiner eine beliebige Menge rationaler Zahlen, läßt sich auffassen als eine Eigenschaft rationaler Zahlen und ist so zurückführbar auf die natürlichen Zahlen und ihre Eigenschaften. Zwei verschiedene Eigenschaften können hierbei die “nämliche” Menge rationaler Zahlen bestimmen, wenn nämlich beide umfangsgleich sind. Umgekehrt kann man sich eine unendliche Menge nur als durch eine Eigenschaft charakterisiert, nicht als eine Art Ausbreitung sämtlicher Mengenelemente vorstellen. Entsprechend bedeutet eine Menge reeller Zahlen eine Eigenschaft von Eigenschaften rationaler Zahlen; dieser Begriff ist seinerseits abhängig vom Inbegriff aller “möglichen” Eigenschaften rationaler Zahlen, von dem eindeutigen Sinn der Frage: Gibt es eine Eigenschaft von vorgegebener Beschaffenheit? Eine solche Frage läßt sich als allgemeinhin sinnlos nachweisen; nur für umfangsdefinite Begriffe (wie die Dinge der Außenweit, die natürlichen oder rationalen Zahlen) hat die entsprechende Frage einen Sinn.
Demgemäß ist die Theorie der reellen Zahlen nur durch die Beschränkung auf konstruktive Verfahren zu retten; zu diesem Zweck werden sechs Konstruktionsprinzipien zugelassen, die sich wesentlich der Worte “nicht”, “und”, “oder”, “es gibt” bedienen, wobei als Subjekt zu “es gibt” nur natürliche, bzw. rationale Zahlen, nicht aber Eigenschaften, Relationen usw. zulässig sind. Die Neubildung von Eigenschaften und Relationen darf nur mittels dieser Prinzipien geschehen, und zwar auch durch Iteration der Prinzipien vermöge vollständiger Induktion, die mit der Reihe der natürlichen Zahlen als “ein letztes Fundament des mathematischen Denkens” zugrundegelegt wird. Hiermit scheiden die Prozesse der Mengenlehre aus, in der auch Relationen und Eigenschaften als Gegenstände betrachtet und als Argumente anderer Relationen eingeführt werden. In dem so genetisch umgrenzten Kreis definiter Relationen oder Eigenschaften hat die oben erwähnte Frage einen klaren Sinn. Durch die Beschränkung, daß nur solchen definiten Eigenschaften rationaler Zahlen die reellen Zahlen entsprechen sollen, wird aus dem fließenden Brei des Kontinuums sozusagen ein Haufen einzelner Punkte herausgepickt. Das Kontinuum wird in isolierte Elemente zerschlagen und das Ineinanderverflossensein aller seiner Teile ersetzt durch gewisse, auf dem “größer – kleiner” beruhende begriffliche Relationen zwischen diesen isolierten Elementen. Man spricht daher von einer atomistischen Auffassung des Kontinuums. Dieses “Weylsche Zahlensystem” will nicht etwa das anschaulich gegebene Kontinuum getreu widerspiegeln, sondern an dessen Stelle einen einwandfreien Bereich setzen, der für die Konstruktionen der Analysis und der Geometrie genügen soll. Indes fällt mit einer solchen Auffassung nicht nur die allgemeine Mengenlehre (schon die Nichtabzählbarkeit des Kontinuums im üblichen Sinne), sondern auch wesentliche Grundlagen der Analysis müssen aufgegeben, und die Geometrie darf nicht als etwas Selbständiges, sondern nur als eine mittels Koordinaten zustandekommende Übertragung des Weylschen Zahlensystems aufgefaßt werden.
Zweiter Teil (“Das Kontinuum als Medium freien Werdens”). Die reelle Zahl, als Intervallschachtelung aufgefaßt, stellt im wesentlichen eine Folge natürlicher Zahlen dar. Eine solche Folge kann entweder durch ein vorliegendes Gesetz bestimmt oder Schritt für Schritt durch freie Wahlakte gebildet werden, ohne jemals fertig vorzuliegen (“werdende Wahlfolge”); dem ersten Fall entspricht die einzelne reelle Zahl, dem zweiten das Kontinuum, “in welches wohl die einzelnen reellen Zahlen hineinfallen, das sich aber selbst keineswegs in eine Menge fertig seiender reeller Zahlen auflöst; vielmehr ist es ein Medium freien Werdens”. In dieser Einstellung wird, gegenüber der Weylschen Auffassung einerseits, der “in Chaos und Leersinn” mündenden modernen Arithmetisierung des Kontinuums andererseits, eine Verschärfung der damit endgültig triumphierenden Vorstellungen Galileis und der Begründer der Infinitesimalrechnung erblickt. Auch hierbei gilt die Zahlenreihe und die vollständige Induktion als die einer Begründung weder bedürftige, noch fähige Urintuition.
Ist \(\mathfrak{E}\) eine im Gebiet der Zahlfolgen, bzw. der natürlichen Zahlen sinnvolle Eigenschaft, so entbehrt nicht nur die Frage: Gibt es eine Zahlfolge der Eigenschaft \(\mathfrak{E}\) oder nicht? des klaren Sinnes (vgl. 1. Teil), sondern auch schon die Frage: Gibt es eine natürliche Zahl der Eigenschaft \(\mathfrak{E}\) oder nicht? (im Gegensatz zum 1. Teil). Es kann sein, daß die Konstruktion einer solchen Zahl gelingt, oder daß es umgekehrt eine beweisbare Eigenschaft der natürlichen Zahl als solcher ist, stets die Eigenschaft von non- \(\mathfrak{E}\) [Berichtigung in JFM] zu besitzen. Von einer vollständigen Disjunktion dieser Fälle kann indes keine Rede sein, da kein Grund zu dem Glauben an die Entscheidbarkeit solcher Existentialfragen besteht. Dem Einwand, daß sich die Sache doch (wenigstens für die Zahlen) an sich so oder so verhalten müsse, stellt Weyl die Auffassung gegenüber, ein Existentialsatz sei “überhaupt kein Urteil im eigentlichen Sinne, das einen Sachverhalt behauptet”, sondern ein “Urteilsabstrakt”, eine Anweisung auf noch nicht vollzogene Urteile. In diesem Sinne wird Brouwers Verwerfung des Satzes vom ausgeschlossenen Dritten (S.v.a.D.) aufgefaßt und anerkannt und demgemäß jeder reine Existenzsatz oder -beweis verworfen. “Nicht das Existenztheorem ist das Wertvolle, sondern die im Beweise geführte Konstruktion. Die Mathematik ist … mehr ein Tun denn eine Lehre.”
Während Weyl durch die Beschränkung des Relationsbegriffs mittels seiner Konstruktionsprinzipien versucht, “in der drohenden Auflösung des Staatswesens der Analysis \(\ldots\) festen Boden zu gewinnen, ohne die Ordnung, auf welcher es beruht, zu verlassen”, gibt Brouwer – wesentlich durch Ablehnung des S.v.a.D. – diese Ordnung preis, und Weyl schließt sich dem an; “denn diese Ordnung ist nicht haltbar in sich \(\ldots\) und Brouwer – das ist die Revolution!”
Auf dieser Grundlage wird der Funktionsbegriff entwickelt, geschieden in functio discreta (Folge natürlicher Zahlen), functio mixta (Argumente Wahlfolgen, Funktionswerte Zahlen), functio continua (Argumente und Funktionen Wahlfolgen; bei Brouwer “Menge” schlechthin). Die funktionale Zuordnung muß durch ein Gesetz zustandekommen, das (auch im letzten Fall) auf vollständiger Induktion beruht und in jedem Fall eine eindeutige Kennzeichnung ohne Benutzung des S.v.a.D. liefert. Mittels der functio discreta, die auf dem Felde der reinen Arithmetik und Algebra herrseht, werden einige elementare Tatsachen der Arithmetik bewiesen, während für die functiones mixtae et continuae wesentlich die Art ihres Zustandekommens (mittels freier Wahlfolgen) erörtert wird. Es folgt eine auf diese Unterscheidung sich gründende Einteilung der möglichen mathematischen Aussagen, die durch das Eingehen unbestimmter Zahlen oder Zahlfolgen unter gewissen Bedingungen in “Aussageschemata von Eigenschaften und Beziehungen zwischen Zahlen und Folgen”, d. h. von Mengen, übergehen können. Das wesentliche Kriterium ist die Möglichkeit, für die betreffenden Mengen auf Grand der entwickelten Prinzipien mit dem folgenden Identitätssatz einen Sinn zu verbinden: Jedes Element von der Eigenschaft \(\mathfrak{E}\) hat eine andere Eigenschaft \(\mathfrak{E}_1\). Die hierdurch bewirkte Umgrenzung schließt namentlich alle Mengen von Funktionen und Mengen von Mengen, also die allgemeine Mengenlehre aus. “Arithmetik und Analysis enthalten lediglich allgemeine Aussagen über Zahlen und frei werdende Folgen; keine allgemeine Funktionenund Mengenlehre von selbständigem Inhalt!” Von den Einzelbemerkungen dieses wesentlich über Brouwer hinausgehenden Abschnittes sei hervorgehoben, daß dem Mächtigkeitsbegriff auch schon innerhalb der endlichen Mengen jeder Wert abgesprochen wird.
Zum Schluß folgen die Konsequenzen für das Kontinuumproblem. Der Begriff der reellen Zahl darf nicht mehr als Dedekindscher Schnitt usw., sondern lediglich als Intervallschachtelung entwickelt werden. Daraus folgt auf Grund der voranstehenden Prinzipien die Unzulässigkeit der Disjunktion, daß zwei reelle Zahlen entweder zusammenfallen oder getrennt liegen, entsprechend wie beim anschaulichen Kontinuum “das Getrenntsein zweier Stellen beim Zusammenrücken sozusagen graduell … in die Ununterscheidbarkeit” übergehe. Grundlegend bei dieser Auffassung wird das Verhältnis von Ganzem und Teil; es ist die “Grundeigenschaft des Kontinuums”, Teile zu haben, die sich unbegrenzt weiter teilen lassen; das steht im scharfen Gegensatz zur Auffassung des Kontinuums als einer speziellen Menge, für die, wie für jede Menge, das Verhältnis von Menge und (unteilbarem) Element entscheidend wäre. So kann “ein wahrhaftes Kontinuum … nicht in getrennte Bruchstücke aufgeteilt werden”, z. B. nicht in die Kontinua der positiven und der negativen Zahlen und die Null. Die Anwendung von Operationen auf reelle Zahlen (z. B. die Multiplikation zweier solcher) beruht auf der Zuordnung von Intervallen (nicht von Intervallfolgen), und entsprechend bestimmt sich der Begriff einer stetigen Funktion überhaupt, die daher nur eine verkleidete functio discreta (Folge) darstellt [Note: Beides steht übrigens nicht im Widerspruch zur klassischen Auffassung.] “Wie man sieht, kann man den Begriff der stetigen Funktion in einem beschränkten Intervall nicht erklären, ohne die gleichmäßige Stetigkeit und die Beschränktheit sogleich in die Definition mit aufzunehmen. Vor allem aber kann es gar keine anderen Funktionen in einem Kontinuum geben als stetige Funktionen,” während unstetige entweder sinnlos oder aus mehreren Funktionen in getrennten Kontinuen zusammengesetzt sind. Schließlich wird noch die Ausdehnung auf eine zweidimensionale (geschlossene oder offene) Mannigfaltigkeit angedeutet. (II 1, III, V 1.)

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References:

[1] Siehe namentlich die Dissertation ”Over de grondslagen der wiskunde”, Amsterdam 1907, den Aufsatz in der Tijdschrift voor wijsbegeerte,II (1908), S. 152–158, den im Bull. Amer. Math. Society,20 (Nov. 1913), S. 81–96, veröffentlichten Vortrag ”Intuitionism and Formalism”, die Abhandlungen ”Begründung der Mengenlehre unabhängig vom logischen Satz vom ausgeschlossenen Dritten”, Verh. d. K. Akad. v. Wetensch. te Amsterdam 1918, 1919, und den Artikel ”Intuitionistische Mengenlehre”, Jahresber. d. Deutsch. Math.-Vereinig. 1919, S. 203–208.
[2] Vgl. auch meinen Aufsatz ”Der Circulus vitiosus in der heutigen Begründung der Analysis”, Jahresber. d. Deutsch. Math.-Vereinig. 1919, S. 85–92. · JFM 47.0895.02
[3] Siehe z. B. Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche (Leipzig 1913), § 4.
[4] Siehe vor allem Math. Ann.,71 (1912), S. 97.
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