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Über die Lage der Nullstellen gewisser Minimumpolynome. (German) JFM 48.0085.01
Es sei \(E\) eine beschränkte, abgeschlossene Punktmenge der komplexen \(z\)-Ebene, \[ A(z) = z^n + a_1z^{n-1} + \cdots + a_n \] ein Polynom mit beliebigen komplexen Koeffizienten. Dann gibt es bekanntlich ein Polynom, für welches das Maximum von \(| A(z) |\) auf \(E\) möglichst klein wird. Die Verf. beweisen:
Ist \(E\) symmetrisch zur reellen Achse, so konstruiere man über der Verbindungsstrecke je zweier konjugierter Punkte von \(E\) als Durchmesser den Kreis. Dann liegt jede nichtreelle Nullstelle eines Minimalpolynoms, dessen sämtliche Koeffizienten reell sind, im Innern oder auf dem Rande eines dieser Kreise, wenn nur (falls \(E\) endlich ist) der Grad des Polynoms \(\leqq\) der Anzahl der Punkte von \(E\) ist. Verallgemeinerungen. Anwendbarkeit auf die Lage der Nullstellen z. B. der Legendre-Polynome.

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Full Text: EuDML