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Über die Trennung der Wurzeln einer algebraischen Gleichung in bezug auf ihre reellen Teile und über den Beweis des Fudamentalsatzes der Algebra. (Czech. French summary) JFM 48.0089.01
Es sei \[ f (x) = x^n+ a_1x^{n-1} + \cdots+ a_n = 0 \] eine Gleichung \(n\)-ten Grades, wo \(n = 2m\) (ähnliche Betrachtungen können für ein ungerades n angestellt werden); man bilde den Ausdruck \[ f(\xi + \eta) = \eta^n +A_1\eta^{n-1} + A_2\eta^{n-2}+ A_n \] und unterwerfe die zwei Polynome \[ \begin{aligned} &g(X) = X^m + A_2X^{m-2} + \cdots + A_{2m},\\ &h(X) = A_1X^{m-1} + A_3X^{m-3} +\cdots+ A_{2m-1} \end{aligned} \] einer sukzessiven Division nach dem Euklidischen Algorithmus; dies führt zu den Gleichungen: \[ \begin{aligned} &\mathfrak c_0^2g(X)=q_0(X)h(X)-r_1(X),\\ &\mathfrak c_1^2 h(X)=q_1(X)r_1(X)-\mathfrak c_0^2r_2(X),\\ &\mathfrak c_2^2 r_1(X)=q_2(X)r_2(X)-\mathfrak c_1^2r_3(X),\\ &\hbox to15em{\dotfill}\\ &\kern-3.0em\mathfrak c_{m-2}^2r_{m-3}(X)=q_{m-2}(X)r_{m-2}(X) -\mathfrak c_{m-3}^2 r_{m-1}, \end{aligned} \] wo \(\mathfrak c_0=A_1\) und \(\mathfrak c_k\) der Koeffizient der höchsten Potenz der Variabeln \(X\) in \(r_k(X)\) ist. Man setze noch \[ r_k(0) = \vartheta_k,\quad h(0) = A_{2m-1} = \vartheta,\quad g(0) = A_{2m} = \vartheta_{-1} \] und betrachte die Folge von Polynomen (in \(\xi\)) \[ 1,\;\mathfrak c_0,\;\mathfrak c_1,\;\ldots,\;\mathfrak c_{m-2},\;r_{m-1},\;\vartheta_{m-1},\;\vartheta_{m-2},\;\ldots,\;\vartheta_1,\;\vartheta_0,\;\vartheta_{-1}. \] Verf. beweist nun: Sind für einen Wert von \(\xi\) zwei benachbarte Glieder dieser Folge sowie \(r_{m-2}\) und \(\vartheta_{-1} = f(\xi)\) von Null verschieden, so gibt die Anzahl von Zeichenwechseln dieser Folge die Anzahl der Wurzeln an, deren reeller Teil größer ist als \(\xi\). Es folgt hieraus ein einfacher Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra.
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