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Algebraic theory of the expressibility of cubic forms as determinants, with application to diophantine analysis. (English) JFM 48.0100.01

Eine quadratische Form \(q\) in drei oder vier Variabeln läßt sich auf die beiden kanonischen Gestalten \(xy-z^2\) oder \(xz-yw\) bringen, deren jede als Determinante zweiter Ordnung darstellbar ist. Bedeutet \(l\) eine beliebige Linearform, so läßt sich ersichtlich \(lq\) als Determinante dritter Ordnung schreiben, deren Elemente in den Variabeln linear sind.
Nunmehr sollen \(l\) und \(q\) rationale Koeffizienten besitzen.
Es erhebt sich die Frage: Läßt sich wiederum \(lq\) rational in Determinantenform darstellen, so daß deren Elemente Linearformen mit rationalen Koeffizienten werden? Man führe \(l\) als neue Variable \(y\) ein. Dann zeigt sich, daß für drei Variable die Frage stets zu bejahen ist. Für vier Variable gelten die Sätze: 1. Verschwindet \(q\) für einen rationalen Punkt mit \(y = 0\), so ist \(yq\) rational in Determinantenform darstellbar; 2. Ist \(q\neq 0\) für jeden rationalen Punkt mit \(y\neq 0\), so ist die gewünschte Darstellung dann und nur dann möglich, wenn entweder \(yq\) auf eine ternäre Form reduzierbar ist, oder aber wenn die Determinante von \(q\) das Quadrat einer rationalen Zahl und die Determinante von \(q(x, 0, z, w)\) von Null verschieden ist; 3. Ist dagegen \(q\neq 0\) für jeden rationalen Punkt mit \(y = 0\), und \(q=0\) für einen rationalen Punkt mit \(y\neq 0\), so ist \(yq\) nicht rational in Determinantenform darstellbar.
Geometrisch lassen sich diese drei Fälle charakterisieren, wie folgt: 1. Die \(F_2\) hat mit der Ebene einen rationalen Punkt gemein; 2. Jeder rationale Punkt der \(F_2\) liegt in der Ebene ; 3. Die \(F_2\) enthält einen rationalen Punkt, aber keinen rationalen Punkt der Ebene. Die bezüglichen Rechnungen lassen sich explizite und elementar durchführen; nur gewisse Ausnahmefälle bereiten Schwierigkeiten.
In der zweiten Arbeit liegt die Graßmannsche Erzeugung einer allgemeinen \(F_3\) durch drei projektive Ebenenbündel: \(\varkappa l_{i1}+ \lambda l_{i2}+\mu l_{i3}=0\) (\(i= 1, 2, 3\)) zugrunde, wo die \(l\) Linearformen in \(x_1,\ldots, x_4\) sind; die Gleichung der \(F_3\) ist \(|l_{ik}|=0\). Die Auflösung der drei Gleichungen liefert \(x_1:\ldots : x_4 = f_1:\ldots : f_4\), wo die \(f_i\) kubische Formen in \(\varkappa \), \(\lambda \), \(\mu \) sind.
Sind alle Koeffizienten der \(l\) rational, so besitzt man damit die vollständige Lösung der diophantischen Gleichung \(F_3 = 0\) in rationalen Zahlen. Indessen existieren gewisse Gleichungen \(F_3 = 0\), deren rationale Lösungen drei homogene Parameter mit sich führen derart, daß \(F\) nicht rational in Determinantenform darstellbar ist. Der Verf. stellt sich daher die Aufgabe, die Möglichkeit einer Darstellung der \(F_3\) als Determinante \(|l_{ik}|\) algebraisch zu diskutieren. Man darf annehmen, daß \(F_3\) für einen bekannten rationalen Punkt verschwindet. Es zeigt sich dann, daß die Koeffizienten rational ausdrückbar sind mittels der Wurzel einer algebraischen Gleichung, deren Leitglied nicht verschwindet, solange die \(F_3\) keinen singulären Punkt aufweist. Die Existenz einer rationalen Wurzel läßt sich dann durch eine endliche Anzahl von Versuchen feststellen.
Kennt man eine erste Determinantendarstellung einer Form, so auch unendlich viele, gemäß den gewöhnlichen Operationen, die den Wert einer Determinante nicht ändern. Man hat dann nur noch für jede Klasse gleichwertiger Matrizen (mit linearen Elementen) einen geeigneten Repräsentanten aufzustellen.
Verlegt man den rationalen Punkt an die Stelle \((1, 0,\ldots, 0)\), so darf man \(F_3=f\) in der Gestalt annehmen: \[ f= x^2y+xf_2+f_3,\tag{1} \] wo \(f_2\) frei von \(x\) und \(y\), und \(f_3\) frei von \(x\); ist.
Der erlaubte Ansatz ist dann: \[ f=\left|\begin{matrix}\r&\;\;\r&\;\;\r\\ x+l_1,&l_2,&l_3\\ l_4,&x+l_5,&l_6\\ l_7,&l_8,&x+l_9 \end{matrix}\right|,\tag{2} \] wo \(x\) in den \(l\) nicht vorkommt. Der Fall von zunächst drei Variabeln wird im einzelnen durchgeführt.
Es ergibt sich, daß eine reduzible \(C_3\) stets rational in Determinantenform darstellbar ist, dagegen eine irreduzible \(C_3\) mit einem rationalen Wendepunkt dann und nur dann, wenn sie einen weiteren rationalen Punkt enthält; war indessen der bekannte rationale Punkt der \(C_3\) ein beliebiger, so erlaubt die \(C_3\), dann und nur dann die gewünschte Darstellung, wenn sie drei inzidente rationale Punkte aufweist.
Daran schließt sich der Fall von vier Variabeln; die Form \(f_2\) in (1) hat die Gestalt \(az^2+bw^2\). Dann hängt die gewünschte Darstellung zunächst von \(f=x^2y+f_3\) ab von der Bestimmung eines rationalen Quadrats, das einer Gleichung vom Grade 12 genügt, mit der Diskriminante von \(f_3\) als Leitglied. Nunmehr trete auch \(f_2\) in (1) auf. Besitzt \(f_2\) keine rationalen Faktoren, so hängt die Darstellung von \(f\) ab von der Lösung einer Gleichung des Grades 171, deren Leitglied sicher von Null verschieden ist, solange die Fläche \(f=0\) keinen singulären Punkt besitzt.
Weiter wird noch der Fall genauer untersucht, wo \(f\) in ein Produkt einer Linearform \(l\) und einer quadratischen Form \(Q\) zerfällt. Es treten drei Fallunterscheidungen ein, deren Aufzählung hier zu weit führen würde. Wegen der subtilen Einzelheiten muß auf die Arbeit selbst verwiesen werden. (V 5 D, E.)

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