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Über eine fundamentale Eigenschaft der Invarianten einer allgemeinen binären Form. (German) JFM 48.0105.01
Ist \(f(x, y)=\sum a_\nu \binom n \nu x^{n-\nu }y^\nu \) eine allgemeine binäre Form \(n\)-ten Grades, so wird durch die allgemeine lineare Transformation der Grundvariabein \(x=\alpha \xi + \gamma \eta \), \(y=\beta \xi + \delta \eta \) eine lineare Substitution der Koeffizienten \(a_\nu \) von \(f\) ”induziert”. Die Gesamtheit der nichtsingulären induzierten Transformationen bildet die Fundamentalgruppe der binären Invariantentheorie, die jede Invariante \(F(a_\nu )\) von \(f\) in sich überfährt. Das Hauptergebnis der vorliegenden Abhandlung besagt nun, daß mit einer bestimmten Ausnahme für jede einzelne Invariante \(F(a_\nu )\) durch die Fundamentalgruppe die Gesamtheit aller nicht singulären linearen Transformationen in sich erschöpft ist, so daß jede solche Invariante die induzierte Gruppe bereits vollkommen festlegt. Eine Ausnahme bilden nur für ein gerades \(n > 2\) die Potenzen der quadratischen Invariante. Der Beweis benutzt gewisse Tatsachen, die von G. Kowalewski herrühren, aus dessen Arbeiten ein analoges Ergebnis für den Fall kontinuierlicher Gruppen folgt.
Das so gewonnene Ergebnis der beiden Verf. läßt sich, wie Ostrowski (§ 4) bemerkt, auf die Frage nach Gewichtsbestimmungen anwenden, in bezug auf die eine Invariante isobar sein kann. Daraus ergibt sich insbesondere der einfache Satz, daß eine von der quadratischen wesentlich verschiedene Invariante wenigstens \(n\) Glieder enthält. Ferner werden in den von I. Schur herrührenden § 5-6 der Abhandlung die Beweismethoden der Arbeit angewandt, um für eine recht allgemeine Klasse von Formen, die unter anderem wichtige Spezialfälle aus der Theorie der symmetrischen Funktionen umfaßt, sämtliche Automorphien aufzustellen. Diese Klasse von Formen wird durch die Entwicklungskoeffizienten \(F^{(n)}\) von \(\varphi (g(x))\) geliefert, wo \(g(x) = a_1x+a_2x^2+\cdots \) eine Potenzreihe mit unbestimmten Koeffizienten ist, für \(\varphi (x)\) dagegen zu setzen ist: \[ \varphi (x)=a+bx+c\varPhi (dx),\;\;c\neq 0, \;\;d\neq 0, \;\;b+cd\varPhi '(0)\neq 0, \] wobei \(\varPhi (x)\) eine der Funktionen bedeutet: \[ e^x,\;\;\log (1+x),\;\;(1+x)\log (1+x), \;\;(1+x)^\mu \qquad (\mu \neq 0, 1,2,\ldots ). \]
Man kommt zwangläufig auf diese Funktionen \(\varPhi (x)\), wenn man verlangt daß sämtliche Koeffizienten von \(\varphi (x)\) von 0 verschieden sind und die Formen \(F^{(n)}\) infinitesimale Transformationen von einem gewissen Typus zulassen.
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References:
[1] Diese Transformation ist im wesentlichen gleichbedeutend mit der von A. Hurwitz, Zur Invariantentheorie, Mathematische Annalen43 (1893), S. 381-404, betrachteten PotenztransformationP n (s).
[2] Mathematische Annalen79 (1919), S. 360-387.
[3] Wenn wir in der vorliegenden Arbeit sagen, eine Form bleibe bei einer linearen Transformation ungeändert oder lasse eine solche zu, so sehen wir von einem eventuell hinzutretenden konstanten Faktor ab. Ferner schließen wir lineare Transformationen mit verschwindender Determinante von der Betrachtung aus.
[4] Über die projektive Gruppe der Normkurve und eine charakteristische Eigenschaft des sechsdimensionalen Raumes, Leipz. Berichte, math.-phys. Klasse54 (1902), S. 371-392.
[5] Das ZeichenM? für die zu einer MatrixM gehörende transponierte Matrix wird in dieser Arbeit nirgends henutzt.
[6] Mit diesem größten Index ? operiert auch Herr Kowalewski, l. c.4) Über die projektive Gruppe der Normkurve und eine charakteristische Eigenschaft des sechsdimensionalen Raumes, Leipz. Berichte, math.-phys. Klasse54 (1902), S. 371-392.
[7] Auch hier lehnt sich unser Beweis an den des Herrn Kowalewski an, der mit diesen iterierten Klammerausdrücken mehrfach operiert. Wir machen von ihnen aber im Gegensatz zu Herrn Kowalewski nur in den für die Rechnung besonders einfachen Ausnahmefällen ?=n und ?=n?1 Gebrauch.
[8] Vgl. H. F. Baker, On the Exponential Theorem for a Simple Transitive Continuous Group, and the Calculation of the Finite Equations from the Constants of Structure, Proceedings of the London Math. Soc.34 (1902), S. 91-127.
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