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Zur Arithmetik der Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten. (German) JFM 48.0121.02
Zugrundegelegt wird der Ring aller Potenzreihen einer Veränderlichen \(x\) mit ganzen Zahlen aus einem algebraischen Zahlkörper als Koeffizienten, mit den Unterringen aller konvergenten Potenzreihen und aller solchen, die rationale Funktionen darstellen. In jedem dieser drei Ringe gilt – durch leichte Verallgemeinerung des in der Arbeit für “reguläre” Ideale gegebenen Beweises – der Satz von der im Endlichen abbrechenden Teilerkette und damit die vom Ref. entwickelte, während des Druckes der Arbeit erschienene allgemeine Idealtheorie [E. Noether, Math. Ann. 83, 24–66 (1921; JFM 48.0121.03)], bei der es sich um Darstellung als kleinstes gemeinsames Vielfaches handelt.
Der Verf. stellt sich die Frage, in welchem Umfang die (eindeutige) multiplikative Zerlegung als Potenzprodukt von Primidealen erhalten bleibt. Das ist der Fall für alle “regulären” Ideale – das sind solche, zu denen \(x\) prim ist –, deren Zerlegung vollständig bestimmt ist durch die Zerlegung des zugeordneten Ideals im Zahlkörper. Insbesondere gehören zu den regulären Idealen die Hauptideale; besitzt der algebraische Zahlkörper also nur eine Idealklasse, so kommt eine, bis auf Einheiten eindeutige Zerlegung der Potenzreihen selbst. Allgemein überträgt sich die Einteilung in Idealklassen vom Zahlkörper auf die regulären Ideale. Einem beliebigen Ideal läßt sich eindeutig als Kern ein reguläres Ideal zuordnen; es handelt sich um den im Dedekindschen Sinn genommenen Quotienten durch eine genügend hohe Potenz von \(x\); der kleinstmögliche Exponent wird als Index \(k\) bezeichnet. Jedes Ideal läßt sich als Produkt seines Kernes und seines “reduzierten” Ideals darstellen, dessen Index auch \(k\) und dessen Kern gleich dem Einheitsideal wird.
Ein Teil der Resultate war im Spezialfall der ganzen rationalen Zahlkoeffizienten schon von E. Cahen [C. R. 152, 124–127 (1911; JFM 42.0235.02)] entwickelt.

MSC:
13F25 Formal power series rings
12J99 Topological fields
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Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] Sur les séries intégro-entières, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences,152 (1911), S. 124-127.
[2] Für den KörperK=P findet sich dieser Satz bereits bei Herrn Cahen, l. c. 1. Sur les séries intégro-entières, Comptes Rendus de l’Académie des Sciences,152 (1911), S. 124-127.
[3] Zusatz bei der Korrektur. Während der Drucklegung dieser Arbeit ist die interessante Untersuchung von Frl. E. Noether, Idealtheorie in Ringbereichen, Math. Ann.83 (1921), S. 24-66, erschienen. Einzelne meiner Resultate lassen sich zu der allgemeinen Theorie von Frl. Noether in Beziehung bringen, eine wesentliche Vereinfachung der Beweisführung dürfte sich aber hierbei wohl kaum ergeben. (26. 8. 21.) · JFM 48.0121.03 · doi:10.1007/BF01464225
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