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Mémoire d’analyse diophantienne linéaire. (French) JFM 48.0137.05
Verf. gibt eine methodisch bemerkenswerte Darstellung der Auflösungstheorie ganzzahliger linearer Gleichungssysteme. Mittels des grundlegenden Satzes:
“Einer Matrix von \(p\) Zeilen und \(n \geqq p\) Spalten, deren größter gemeinsamer Teiler ihrer \(p\)-reihigen Determinanten \(d_p\) ist, kann man \(n - p\) Zeilen so anfügen, daß eine quadratische Matrix der Determinante \(d_p\) entsteht,” der in ein paar Zeilen durch vollständige Induktion bewiesen wird, beweist Verf. auf kurzem und elegantem Wege den Fundamentalsatz von Frobenius:
“Zur ganzzahligen Auflösbarkeit eines (inhomogenen) Systems ganzzahliger linearer Gleichungen ist notwendig und hinreichend, daß seine Matrix und die durch Hinzunahme der Spalte der absoluten Glieder erweiterte Matrix den gleichen Rang \(r\) und gleiche höchste (\(r\)-te) Determinantenteiler \(d_r\) haben.”
Anschließend wird mit denselben Hilfsmitteln der Satz bewiesen:
“Damit eine Anzahl von ganzzahligen linearen Formensystemen \(\mathfrak F_1, \dots, \mathfrak F_k\) untereinander “primitiv” sind, d. h. ale Kombinationen von je \(k\) möglichen Wertsystemen der \(k\) einzelnen Systeme \(\mathfrak F_1, \dots, \mathfrak F_k\) auch als gemeinsames Wertsystem aller Formen vorkommen, ist notwendig und hinreichend, daß der Rang \(r\) des Gesamtsystems gleich der Summe der Rangzahlen \(r_1, \dots, r_k\) der \(k\) Einzelsysteme und der höchste Determinantenteiler \(d_r\) des Gesamtsystems gleich dem Produkt der höchsten Determinantenteiler \(d_{r_1}, \dots, d_{r_k}\) der \(k\) Einzelsysteme ist.”
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Full Text: DOI Numdam EuDML