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Verallgemeinerungen des Waring-Hilbertschen Satzes. (German) JFM 48.0142.06

Math. Ann. 83, 85-112 (1921); Diss. Göttingen (1921).
Das Ziel der Arbeit ist der von Waring vermutete Satz:
\(f(x) = \sum_{\nu = 0}^n a_\nu x^\nu\), \(a_n > 0\), sei ein rationalzahliges Polynom von mindestens zweitem Grade und \(f(x)\) ganzzahlig und \(\ge 0\) für jedes ganze \(x \ge 0\). Dann gibt es ein ganzes \(N > 0\) von folgender Eigenschaft. Zu jedem ganzen \(Z \ge 0\) gibt es ganze Zahlen \(N' \ge 0\), \(N'' \ge 0\), \(x_1 \ge 0, \ldots, x_{N'} \ge 0\), so daß \(N' + N'' \le N\) und
\[ Z = \sum_{\kappa = 1}^{N'} f(x_\kappa) + N'' \]
ist. D. h. jede ganze Zahl \(Z \ge 0\) ist unter Hinzunahme einer beschränkten Anzahl von Einheiten in eine beschränkte Anzahl der Polynomwerte zerfällbar.
Die Beweismethode lehnt sich an den 2. Teil des Hilbertschen Beweises für den Spezialfall \(f(x) = x^n\) an. Das Ergebnis des 1. Teils – kurz gesagt, die Identität, die eine \(\nu\)-te Potenz durch \(2\nu\)-te darstellt – kann ohne weiteres übernommen werden. Bekanntlich hat F. Hausdorff [Math. Ann. 67, 301–305 (1909; JFM 40.0237.01)] diese Identität besonders kurz bewiesen.
Kamkes Übergang von \(x^n\) zum Polynom erforderte die Überwindung besonderer Schwierigkeiten und ist keineswegs eine bloße Übertragung der vorhandenen Methode. Der zunächst bewiesene “Kernsatz” über simultane Darstellungen ist auch an sich von Interesse.

MSC:

11P05 Waring’s problem and variants

Citations:

JFM 40.0237.01
Full Text: EuDML