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Some problems of ”Partitio numerorum”. III: On the expression of a number as a sum of primes. (English) JFM 48.0143.04
Die Verfasser beweisen: Wenn die Riemannsche Vermutung und die entsprechende für alle Dirichletschen \(L\)-Funktionen \[ L(s, \chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s} \qquad (\chi \text{ Charakter mod } k) \] wahr ist, bereits wenn die obere Grenze der Abszissen der Wurzeln aller dieser Funktionen \(< \frac 34\) (gleichmäßig!) ist, so ist jede große ungerade Zahl als Summe dreier Primzahlen darstellbar.
Schärfer: Dann genügt die Anzahl \(N (n)\) der Lösungen von \(n = p + p' + p''\) (\(n\) ungerade) der Relation \[ N(n) = K \frac {n^2}{\log^3 n} + o \left( \frac {n^2}{\log^3 n}\right), \] wo \(K\) eine solche Funktion von \(n\) ist, deren untere Grenze positiv und deren obere Grenze endlich ist, nämlich \[ K = \prod_{p>2} \left (1 + \frac 1{(p-1)^3} \right) \prod_{p/n} \left (1 - \frac 1{p^2 - 3p + 3} \right) . \]

Die Methode ist die, welche Hardy und Littlewood zuerst beim Waringschen Problem [Gött. Nachr. 1920, 33–54 (1920; JFM 47.0114.02)] so erfolgreich angewendet haben. Aber bei diesen Primzahlproblemen ist es leichter. Es gibt keine minor arcs; die singular series kann leicht in geschlossener Form summiert und abgeschätzt werden. Die Einführung der \(L(s, \chi)\) (aller!) kommt von den Einheitswurzeln her.
Der zweite Teil ist (absichtlich) etwas wild. Da türmt sich conjecture auf hypothesis; bezogen zunächst auf die Anzahl der Primzahlpaare bis \(n\) in festem Abstand \(k\). Statt \(n = p + p'\) (Goldbach), \(k = p - p'\) auch \(n = ap + bp'\), \(k = ap - bp'\). Dann geht es zu \(p = x^2 + 1\) über; es folgt \(p = ax^2 + bx + c\), auch \(n = ax^2 + bx + p\) (speziell \(n = x^2 + p\)), \(n = x^2_1 + x_2^2 + p\). Und nun zu Kuben: \(p = x^3 + k, \dots, p = x^3 + y^3 + z^3, \dots\). Und nun statt zweier Primzahlen drei, vier, ....
Überall Vermutungen, daß die Zerlegungssätze in den Fällen, in denen sie nicht trivialerweise falsch sind, richtig sind, nebst Vermutungen über die asymptotische Abschätzung der Anzahl der Darstellungen.
Aber im Gegensatz zum 1. Teil können hier die Vermutungen auch nicht unter Hypothesen von Art der obigen bewiesen werden.
Als Muster sei eine Vermutung (conjecture \(P\)) wiedergegeben: Die Anzahl der Primzahlpaare \[ p' = m^2 + 1, \quad p'' = m^2 + 3 \] ist unendlich, und bis \(n\) gibt es asymptotisch \[ 3 \frac {\sqrt{n}}{\log^2 n} \prod_{p \geqq 5} \frac {p(p-\nu)}{(p-1)^2} \] solche Paare, wo \(\nu = \)0, 2 oder 4, je nachdem keine, eine, oder beide der Zahlen \(-1\) und \(-3\) quadratische Reste mod \(p\) sind.

MSC:
11P32 Goldbach-type theorems; other additive questions involving primes
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References:
[1] E. Landau, ’Gelöste und ungelöste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion,Proceedings of the fifth International Congress of Mathematicians, Cambridge, 1912, vol. 1, pp. 93–108 (p. 105). This address was reprinted in theJahresbericht der Deutschen Math.-Vereinigung, vol. 21 (1912), pp. 208–228.
[2] We give here a complete list of memoirs concenred with the various applications of this method.
[3] ’Asymptotic formulae in combinatory analysis’,Comptes rendus du quatrième Congrès des mathematiciens Scandinaves à Stockholm, 1916, pp. 45–53.
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[8] G. H. Hardy andJ. E. Littlewood, ’A new solution of Waring’s Problem’,Quarterly Journal of pure and applied mathematics, vol. 48 (1919), pp. 272–293. · JFM 47.0114.01
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[10] G. H. Hardy andJ. E. Littlewood, ’Some problems of ’Partitio numerorum’; I: A new solution of Waring’s Problem’,Nachrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1920), pp. 33–54. · JFM 47.0114.02
[11] ’Some problems of ’Partitio numerorum’ II: Proof that any large number is the sum of at most 21 biquadrates’,Mathematische Zeitschrift, vol. 9 (1921), pp. 14–27. · JFM 48.0142.01 · doi:10.1007/BF01378332
[12] G. H. Hardy andS. Ramanujan, ’Une formule asymptotique pour le nombre des partitions den’, Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 2 Jan. 1917. · JFM 46.0198.01
[13] , ’Asymptotic formulae in combinatory analysis’,Proceedings of the London Mathematical Society, ser. 2, vol. 17 (1918), pp. 75–115. · JFM 46.0198.02 · doi:10.1112/plms/s2-17.1.75
[14] , ’On the coefficients in the expansions of certain modular functions’,Proceedings of the Royal Society of London (A) vol. 95 (1918), pp. 144–155. · JFM 47.0359.02 · doi:10.1098/rspa.1918.0056
[15] E. Landau, ’Zur Hardy-Littlewood’schen Lösung des Waringschen Problems’,Nachrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1921), pp. 88–92. · JFM 48.0142.04
[16] L. J. Mordell, ’On the representations of numbers as the sum of an odd number of squares’,Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 22 (1919), pp. 361–372.
[17] A. Ostrowski, ’Bemerkungen zur Hardy-Littlewood’schen Lösung des Waringschen Problems’,Mathematische Zeitschrift, vol. 9 (1921), pp. 28–34. · JFM 48.0142.02 · doi:10.1007/BF01378333
[18] S. Ramanujan, ’On certain trigonometrical sums and their applications in the theory of numbers’,Transactions of the Cambridge Philosophical Society, vol. 22 (1918), pp. 259–276.
[19] N. M. Shah andB. M. Wilson, ’On an empirical formula connected with Goldbach’s Theorem’,Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 19 (1919), pp. 238–244. · JFM 47.0885.04
[20] The hypothesis must be stated in this way because (a) it has not been proved that noL(s) has real zeros between 1/2 and 1, (b) theL-functions associated withimprimitive (uneigentlich) characters have zeros on the line \(\sigma\)=o.
[21] Naturally many of the results stated incidentally do not depend upon the hypothesis.
[22] Landau ’Zur Hardy-Littlewood’schen Lösung des Waringschen Problems’,Nachrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1921) p. 498. All references to ’Landau’ are to hisHandbuch, unless the contrary is stated.
[23] \(\chi\)k m =o if (m,q)>I.
[24] Landau, ’Zur Hardy-Littlewood’schen Lösung des Waringschen Problems’,Nachrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1921) p. 497. · JFM 48.0142.04
[25] The distinction between major and minor arcs, fundamental in our work on Waring’s Problem, does not arise here.
[26] Landau, ’Zur Hardy-Littlewood’schen Lösung des Waringschen Problems’,Nachrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1921), p. 421. · JFM 48.0142.04
[27] Landau, ’Zur Hardy-Littlewood’schen Lösung des Waringschen Problems’,Nachrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1921), pp. 572–573. · JFM 48.0142.04
[28] Landau, ’Zur Hardy-Littlewood’schen Lösung des Waringschen Problems’,Nachrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1921), p. 485. The result is stated there only for a primitive character, but the proof is valid also for an imprimitive character when (p, q)=1.
[29] Landau, ’Zur Hardy-Littlewood’schen Lösung des Waringschen Problems’,Nachrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1921), pp. 485, 489, 492. · JFM 48.0142.04
[30] See the additional note at the end.
[31] Landau, ’Zur Hardy-Littlewood’schen Lösung des Waringschen Problems’,Nachrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1921), pp. 509, 510, 519. · JFM 48.0142.04
[32] Landau, ’Zur Hardy-Littlewood’schen Lösung des Waringschen Problems’,Nachrichten von der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (1921), p. 511 (footnote). · JFM 48.0142.04
[33] This application of Cauchy’s Theorem may be justified on the lines of the classical proof of the ’explicit formulae’ for \(\psi\)(x) and \(\pi\)(x): see Landau, pp. 333–368. In this case the roof is much easier, sinceY Д(s) tends to zero, when |t|, like an exponentiale |t| Compare pp. 134–135 of our memoir ’Contributions to the theory of the Riemann Zeta-function and the theory of the distribution of primes’,Acta Mathematica, vol. 41 (1917), pp. 119–196.
[34] Landau, p. 517. ’Gelöste und ungelöste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion,Proceeding of the fifth International Congress of Mathematicians Cambridge, 1913, vol. I, pp. 93–108 (p. 105). · JFM 44.0234.02
[35] Landau, p. 480. ’Gelöste und ungelöste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion,Proceeding of the fifth International Congress of Mathematicians, Cambridge, 1912, vol, I, pp. 93–108 (p. 105). · JFM 43.0264.01
[36] Landau, p. 507. ’Gelöste und ungelöste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion,Proceeding of the fifth International Congress of Mathematicians, Cambridge, 1912, vol. I, pp. 93–108 (p. 105). · JFM 43.0264.01
[37] Landau, pp. 496, 497. ’Gelöste und ungelöste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion,Proceeding of the fifth International Congress of Mathematicians, Cambridge, 1912, vol. I, pp. 93–108 (p. 105). · JFM 43.0264.01
[38] Landau, p. 337. ’Gelöste und ungelöste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion,Proceeding of the fifth International Congress of Mathematicians, Cambridge, 1912, vol. I, pp. 93–108 (p. 105). · JFM 43.0264.01
[39] Landau, p. 423. ’Gelöste und ungelöste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion,Proceeding of the fifth International Congress of Mathematicians, Cambridge, 1912, vol. I, pp. 93–108 (p. 105). · JFM 43.0264.01
[40] \(\Sigma\) refers to the complex zeros ofL 1 (s), not merely to those of \(\zeta\)(s)
[41] Landau, p. 217.E. Landau, ’Gelöste und ungelöste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion,Proceedings of the fifth International Congress of Mathematicians, Cambridge, 1912, vol. 1, pp. 93–108 (p. 105). · JFM 43.0264.01
[42] The argument fails ifq=1, orq=2; butc 1 (n)=c 1()=1,c 2(n)=c 2()=.
[43] Landau, p. 577.E. Landau, ’Gelöste und ungelöste Probleme aus der Theorie der Primzahlverteilung und der Riemannschen Zetafunktion,Proceedings of the fifth International Congress of Mathematicians, Cambridge, 1912, vol. 1, pp. 93–108 (p. 105). · JFM 43.0264.01
[44] As regards the earlier history of ’Goldbach’s Theorem’, seeL. E. Dickson,History of the Theory of Numbers, vol. 1 (Washington 1919), pp. 421–425.
[45] J. J. Sylvester, ’On the partition of an even number into two primes’,Proc. London Math. Soc., ser. 1, vol. 4 (1871), pp. 4–6 (Math. Papers, vol. 2, pp. 709–711). See also ’On the Goldbach-Euler Theorem regarding prime numbers’,Nature, vol. 55 (1896–7), pp. 196–197, 269 (Math. Papers, vol. 4, pp. 734–737). We owe our knowledge of Sylvester’s notes on the subject to Mr.B. M. Wilson of Trinity College, Cambridge. See, in connection with all that follows, Shah and Wilson, I, and Hardy and Littlewood, 2.
[46] Landau, p. 218.E. Landau, ’Gelöste
[47] P. Stäckel, ’Über Goldbach’s empirisches Theorem: Jede grade Zahl kann als Summe von zwei Primzahlen dargestellt werden’,Göttinger Nachrichten, 1896, pp. 292–299.
[48] E. Landau, ’Über die zahlentheoretische Funktion (n) und ihre Beziehung zum Goldbachschen Satz’,Göttinger Nachrichten, 1900, pp. 177–186. · JFM 31.0179.01
[49] J. Merlin, ’Un travail sur les nombres premiers,’,Bulletin des sciences mathématiques, vol. 39 (1915), pp. 121–136. · JFM 45.0330.09
[50] V. Brun, ’Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare’,Archiv for Mathematik (Christiania), vol. 34 part 2 (1915), no. 8, pp. 1–15. The formula (4. 18) is not actually formulated by Brun: see the discussion by Shah and Wilson, 1, and Hardy and Littlewood, 2. See also a second paper by the same author, ’Sur les nombres premiers de la formeap+b’,ibid. part. 4 (1917). no. 14, pp. 1–9; and the postscript to this memoir.
[51] P. Stäckel, ’Die Darstellung der geraden Zahlen als Summen von zwei Primzahlen’, 8 August 1916; ’Die Lückenzahlenr-ter Stufe und die Darstellung der geraden Zahlen als Summen und Differenzen ungerader Primzahlen’, I. Teil 27 Dezember 1917, II. Teil 19 Januar 1918, III. Teil 19 Juli 1918. · JFM 46.0203.01
[52] Throughout 4. 2A is the same constant.
[53] For general theorems including those used here as very special cases, seeK. Knopp, Divergenzcharactere gewisser Dirichlet’scher Reihen’,Acta Mathematica, vol. 34, 1909, pp. 165–204 (e. g. Satz III, p. 176). · JFM 42.0290.02 · doi:10.1007/BF02393127
[54] Landau, p. 218.E. Landau, ’Gelöste
[55] Whether Sylvester’s argument was or was not we have no direct means of judging.
[56] Probability is not a notion of puro mathematies, but of philosophy or physics.
[57] Compare Shah and Wilson,l. c.) p. 238. The same conclusion may be arrived at in other ways.
[58] , p. 242.
[59] We appeal again here to the Tauberian theorem referred to at the end of 4. 2 (f. n. t), This time, of course, there is no question of an alternative argument.
[60] Note thatS 2 ’=o ifk is odd, as it should be.
[61] The series is of course divergent, and must be regarded as closed after a finite number of terms, with an error term of lower order than the last term retained.
[62] J. W. L. Glaisher, ’An enumeration of prime-pairs’,Messenger of Mathematics, vol. 8 (1878), pp. 28–33. Glaisher counts (1, 3) as a pair, so that his figure exceeds ours by I.
[63] The fourth was that of the existence of a prime betweenn 2 and (n+1)2 for everyn>0. The problem of primesam 2 +bm+c must not be confused with the much simpler (though still difficult) problem of primes included in the definite quadratic formax 2 +bxy+cy 2 in two independent variables. This problem, of course, was solved in the classical researches ofde la Vallée Poussin. Our method naturally leads to de la Vallée Poussin’s results, and the formal verification of them in this manner is not without interest. Here, however, our method is plainly not the right one, and could lead at best to a proof encumbered with an unnecessary hypothesis and far more difficult than the accepted proof.
[64] Even this is a formal process, for (5. 412) is not absolutely convergent.
[65] SeeDirichlet-Dedekind,Vorlesungen über Zahleutheorie, ed. 4 (1894), pp. 293et seq.
[66] ByStern and his pupils in 1856. See-History (referred to on p. 32) p. 424. The tables constructed by Stern were presorved in the library of Hurwitz, and have been very kindly placed at our disposal by Mr. G. Pólya. These manuscrípts also contain a table of decompositions of primesq=4m+3 into sumsq=p+2p’, wherep andp’ are primes of the form 4m+1, extending as far asq=20983. The conjecture that such a decomposition is always possible (1 being counted as a prime) was made by Lagrange in 1775 (see Dickson, L. E. Dickson,History of the Theory of Numbers, vol. I (Washington 1919) p. 424).
[67] See Landau, p. 67. ’Gelöste und ungelöste Problemeaus der Theorie der Primzahverteilung und der Riemanmschen Zetafunktion,Proceedings of the fifth Intemaltional longress of Mathematicions, Cambridge, 1912 vol, I, 93–108 (p. 105).
[68] Landau, p. 140. ’Gelöste und ungelöste Problemeaus der Theorie der Primzahrerteilung und der Riemanmschen Zetafunktion,Proceedings of the fifth Intemational longress of Mathematicious. Cambridge, 1912 vol. I, 93–108 (p. 105). · JFM 43.0264.01
[69] It is here that we use the conditiona r s .
[70] To avoid any possible misunderstanding, we repeat that these theorems areconsequences of Hypothesis X.
[71] L. E. Dickson,History of the Theory of Numbers, vol. I, p. 355. · JFM 48.0137.02
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