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Some problems of “Partitio Numerorum”. IV: The singular series in Waring’s problem and the value of the number \(G(k)\). (English) JFM 48.0146.01
1. Es seien \(k\) und \(s\) ganz, \(k > 2\), \(s > 0\), \(K = 2^{k-1}\), \(\varkappa = 1 - \tfrac 1K\), \(a = \tfrac 1k\), \(r(n) = r_{k, s}(n)\) für \(n > 0\) der Koeffizient von \(x^n\) in \[ \left(1 + 2\sum_{h=1}^\infty x^{h^k}\right)^s = 1 + \sum_{h=1}^\infty r_{k, s}(n) x^n \] (so daß insbesondere dann und nur dann \(r(n) > 0\) ist, wenn die diophantische Gleichung \[ n = \sum_{\nu=1}^s h_\nu^k, \quad h_\nu \geq 0 \tag{1} \] lösbar ist).
In der 1. und 2. Abhandlung der Serie (JFM 47.0114.02; JFM 48.0142.01) war bewiesen:
1. Für \(s > 2K + 1\) ist bei jedem \(\varepsilon > 0\) \[ r(n) = C n^{s a-1} S + O(n^{(s-4)a\chi + 2a + \varepsilon}), \tag{2} \] wo \(C\) eine positive, von \(k\) und \(s\) abhängige Konstante ist, \(S\) die sog. singular series, die von \(k, s\) und \(n\) abhängt.
2. Für \(s \geq s_0(k)\) ist \[ S > \sigma > 0, \tag{3} \] wo \(\sigma = \sigma(k, s)\) von \(n\) frei ist. So entstand der neue Beweis des Waring-Hilbertschen Satzes, indem für \(s \geq (k - 2) K + 5\) \[ sa - 1 > (s - 4) a \varkappa + 2 a \] ist; aber nicht etwa der Beweis, daß (1) mit \(s = (k - 2)K + 5\) für alle großen \(n\) lösbar ist; denn für das kleinste \(s_0\) bei (3) war bisher keine so niedrige Schranke hergeleitet worden.
Dies geschieht hier, und zwar wird auf Vorrat gearbeitet (da ja Verschärfungen des \(O\)-Gliedes in (2) denkbar sind). Nicht nur wird \(s_0 \leq (k - 2)K + 5\) bewiesen, sondern sogar \(s_0 \leq 4 k\) (was für \(k \geqq 4\) besser ist), und vieles mehr.
Sehr interessant, wenn auch für das Hauptziel unwesentlich, ist die Entdeckung der Tatsache, daß die singular series bereits für \(s \geqq 4\) absolut konvergiert. Daß sie, sofern konvergent, \(\geq 0\) ist, ist leicht zu zeigen; aber \(\geqq 0\), selbst \(> 0\) genügt nicht für die Anwendung von (2), da eine von \(n\) freie positive untere Schranke (oder wenigstens eine Abschätzung der Form \(S > c(k) n^{-\tfrac ak + c(k)}, \quad c(k) > 0\) bei \(s = (k - 2) K + 5\)) erforderlich ist.
Die Methode ist elementar-zahlentheoretisch mit vielen Anklängen an die Kreisteilungstheorie, die allerdings nur Werkzeug und Material, nicht brauchbare Werte für den vorliegenden Zweck mitgebracht hat.
Auf Grund der formalen Zerlegung \[ S = \sum_{q=1}^\infty A_q = \prod_p \chi_p, \quad \chi_p = A_1+ A_p + A_{p^2} + \cdots \] (auf Grund von \(A_{q_1 q_2} = A_{q_1} A_{q_2}\) für \((q_1, q_2) = 1\)) kommt alles auf die Berechnung von \(A_{p^\lambda}\) heraus. Es zeigt sich, daß die Reihe \(\chi_p\) stets im Endlichen abbricht (d. h. daß \(A_{p^\lambda} = 0\) für \(\lambda > \lambda_0 = \lambda_0(k, s, n, p)\), wo übrigens \(\lambda_0\) noch von \(s\) frei ist) und sogar bei festen \(k, n\) bis auf endlich viele \(p\) (für \(p > p_0(k, n)\)) schon beim zweiten Glied (\(\lambda_0 = 1\)). \(\chi_p\) wird explizit durch Wurzelanzahlen gewisser Kongruenzen \[ x_1^k + \cdots + x_s^k \equiv m \] nach Primzahlpotenzmoduln dargestellt, und all dies wird sehr geschickt verarbeitet.
Unter den an sich interessanten Hilfssätzen sei noch der folgende hervorgehoben, der, so einfach er auch bewiesen wird, doch in der klassischen Kreisteilungstheorie vermißt wird: Ist \(\varrho\) primitive \(p\)-te Einheitswurzel, so ist \[ |\sum_{h=1}^p \varrho^{h^k}| \leq (k-1) \sqrt{p}. \] Also derselbe Exponent \(\frac 12\) rechts, wie bei \(k = 2\) wohlbekannt.
Die obige Ungleichung \(s_0 \leqq 4k\) ergibt sich als ganz spezieller Fall des folgenden Satzes: \(\varGamma(k)\) sei das kleinste positive \(s\) (Existenz wird bewiesen), so daß \(\chi_p = \chi_p(k, s, n)\) bei allen \(p\), \(n\) gleichmäßig eine positive untere Grenze hat. Dann ist \(s_0 \leqq \text{ Max }(\varGamma(k), 4)\). Für \(\varGamma(k)\) wird eben \(\varGamma (k) \leqq 4k\) bewiesen; für alle \(k\), die nicht gewisse wohlpräzisierte 3 Ausnahmetypen haben, sogar \(\varGamma(k) \leqq k + 1\). Die Schranke \(k + 1\) ist darum wichtig, weil bekanntlich nicht für alle großen Zahlen (1) mit \(s = k\) lösbar ist, so daß im Falle \(s < k +1\) ein Satz \(S > \sigma > 0\) nichts nützt, indem dann das \(O\)-Glied der etwa verschärften Relation (2) verpflichtet ist, zu stören. Kurz gesagt: Für fast alle \(k\) ist jetzt die singular series viel besser abgeschätzt, als jemals von Nutzen sein kann; also mindestens so gut, als je gebraucht wird. Und für die (unendlich vielen) Ausnahme-\(k\) ist sie besser albgeschätzt, als z. Z. von Nutzen sein kann.
Was die Bezeichnungen betrifft, so sei für die Bequemlichkeit des Lesers folgendes bemerkt:
\(\varGamma(k)\) ist nicht \(\varGamma(k)\) (die Eulersche Gammafunktion, die auch vorkommt, in der Definition von \(C\)). \(\pi\) ist nicht \(\pi\) (Ludolfsche Zahl, die auch vorkommt, aber verschleiert, indem \(e_q(x)\) bedeutet: \(e^{\frac{2\pi i x}{q}}\)), sondern eine Primzahl. \(\chi_\pi\) ist nicht \(\chi_\pi\) (Charakter, der auch vorkommt und auch \(\chi_\varkappa\) heißt; \(\varkappa = 1, \varkappa = 2 = \pi, \ldots\)), sondern die obige Reihe. \(\varphi\) ist nicht \(\varphi\) (die Eulersche zahlentheoretische Funktion, die auch vorkommt, aber in den kritischen Fällen \(\varPhi\) heißt), sondern dauernde Abkürzung für den um 1 (bzw. 2 bei \(\pi = 2\)) vermehrten Exponenten \(\theta\) der höchsten Potenz von \(\pi\), die in \(k\) aufgeht.

MSC:
11P05 Waring’s problem and variants
11P55 Applications of the Hardy-Littlewood method
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Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] G. H. Hardy and J. E. Littlewood, Some problems of ?Partitio Numerorum?: I. A new solution of Waring’s Problem, Göttinger Nachrichten 1920, S. 33-54: II. Proof that every large number is the sum of at most 21 biquadrates, Mathematische Zeitschrift9 (1921), S. 14-27. The third memoir of the series (Some problems of ?Partitio Numerorum?: III. On the expression of a number as a sum of primes) will appear shortly in the Acta Mathematica. The problems considered in this memoir are of a somewhat different character. We refer to these memoirs as P. N. 1, P. N. 2, P. N. 3. · JFM 48.0142.01
[2] D. Hilbert, Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahln-ter Potenzen, Göttinger Nachrichten 1909, S. 17-36: reprinted with certain changes in Mathematische Annalen,67 (1909), S. 281-300. · JFM 40.0237.02
[3] E. Landau, Zur Hardy-Littlewoodschen Lösung des Waringschen Problems, Göttinger Nachrichten 1921, S. 88-92. · JFM 48.0142.04
[4] H. Weyl, Bemerkung zur Hardy-Littlewoodschen Lösung des Waringschen Problems, Göttinger Nachrichten 1922.
[5] A. Ostrowski, Bemerkung zur Hardy-Littlewoodschen Lösung des Waringschen Problems, Mathematische Zeitschrift,9 (1921), S. 28-34. We return to this point in § 6. 3. · JFM 48.0142.02
[6] The names are those of the authors who found the actual numbers quoted. The proofs of ?Waring’s Theorem? for the cases in question are due to Lagrange, Maillet, Liouville, Maillet, Fleck, Wieferich, and Hurwitz (and Maillet) respectively. For detailed references see A. J. Kempner, Über das Waringsche Problem und einige Verallgemeinerungen. Inaugural-Dissertation, Göttingen 1912, and W. S. Baer, Beiträge zum Waringschen Problem, Inaugural-Dissertation, Göttingen 1913. The numbers fork=7 andk=8 could no doubt be substantially reduced. Proofs of the existence ofg(k), from which an upper bound forg(k) could be calculated, have also been given fork=10 (I. Schur),k=12 (Kempner) andk=14 (Kempner).
[7] E. Landau, Über eine Anwendung der Primzahltheorie auf das Waringsche Problem in der elementaren Zahlentheorie, Mathematische Annalen,66 (1909), S. 102-105. · JFM 39.0242.03
[8] Sec Kempner, loc.cit Über das Waringsche Problem und einige Verallgemeinerungen. Inaugural-Dissertation, Göttingen, S. 44-45.
[9] Waring asserts quite explicitly, not merely thatg(k) exists, but thatg(2)=4,g(3)=9,g(4)=19, ?et sic deinceps?. Nothing is known, so far as we are aware, inconsistent with the view that the numbers in question are the actual values ofg(k) for everyk.
[10] A. Hurwitz, Über die Darstellung der ganzen Zahlen als Summen vonn-ter Potenzen ganzer Zahlen, Mathematische Annalen,65 (1908), S. 424-427. · JFM 39.0243.03
[11] E. Maillet, Sur la décomposition d’un entier en une somme de puissances huitièmes d’entiers, Bulletin de la société mathématique de France,36 (1908), p. 69-77. · JFM 39.0244.01
[12] See. S. Ramanujan, On certain trigonometrical sums and their applications in the theory of numbers, Transactions of the Cambridge Philosophical Society,22 (1918), pp. 259-276; G. H. Hardy, Note on Ramanujan’s functionc q (n), Proceedings of the Cambridge Philosophical Society,20 (1921), pp. 263-271; and P. N. 3.
[13] See P. N. 2, S. 22 (f. n. 7). This will also appear incidentally later (S. 369), footnote
[14] What we do is, in effect, to develop from our own point of view certain portions of the theory of the division of the circle (Kreisteilung). It is not unlikely that the substance of our analysis is to be found elsewhere; but it is not altogether easy to extract, from the classical accounts of the theory, the particular parts which we require.
[15] A systematic account of the theory will be found in Landau’sHandbuch,1 (Zweites Buch)
[16] Landau, Zur Hardy Littlewoodschen Lösung des Waringschen Problems, Göttinger Nachrichten 1921, S. 401-402.
[17] Landau.Handbuch, S. 394.
[18] This has been proved already, in a different manner, in P. N. 2, S. 19-21; but it is interesting to see how the result arises from our present point of view.
[19] Since ?|??1 when ?+?.
[20] Landau,Handbuch, S. 479.
[21] It is ?1 if ? is the principal character, and the product of a ? and a ? if ? is non-principal (and so primitive: Landau,Handbuch, S. 480).
[22] N(16, 15)=815 whens=15, since eachx may have any one of the values 1, 3, 5, ..., 15.
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