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Polynomials and their residue systems. (English) JFM 48.0154.03

American M. S. Bull. 27, 304 (1921); American M. S. Trans. 22, 240-266, 267-288 (1921).
In der ersten Arbeit wird eine elementare Theorie der ganzen rationalen Funktionen \(\varphi(x)\) mit ganzen rationalen Zahlenkoeffizienten in bezug auf einen zusammengesetzten Modul \(m\) entwickelt. Die “Restkongruenz” \[ \varphi(x) \equiv 0 \;(\text{mod. } m), \] bedeutet, daß die Kongruenz \(\varphi(x) \equiv 0\) (mod. \(m\)) für jedes ganzzahlige \(x\) erfüllt sein soll. In der Theorie spielt eine zahlentheoretische Funktion \(\mu(m)\) eine Rolle, welche die kleinste positive ganze Zahl bezeichnet, für die \([\mu(m)]!\) durch \(m\) teilbar ist, und zu deren Bestimmung ein Verfahren angegeben wird. Sie dient dazu, eine “Kette von Restkongruenzen (mod. \(m\))” abzuleiten, indem zunächst bewiesen wird: \[ \frac md \prod_{i=0}^{\mu(d) - 1} (x - i) \equiv 0 \;(\text{mod. } m) \] ist die Restkongruenz von kleinstmöglichem Grade, die mit der Bedingung vereinbar ist, daß der Koeffizient der höchsten Potenz von \(x\) gleich \(\dfrac md\) wird, \(d\) ein Divisor von \(m\). Symbolisch wird diese Kongruenz mit \(\left\{\mu(d), \dfrac md\right\}\) bezeichnet. Denkt man sich nun für alle Divisoren \(d\) von \(m\) die Werte \(\mu(d)\) bestimmt und nimmt von allen Teilern mit demselben \(\mu(d)\) den größten \(d_\lambda\), so erhält man eine eindeutig bestimmte Reihe von Divisoren \(d_0 = m\), \(d_1, d_2, \dots, d_\tau = 1\), die der Größe nach geordnet sind und die weitere Eigenschaft haben, daß jedes Glied der Reihe durch das nächstfolgende teilbar ist. Dieser Teilerreihe entspricht dann eine Kette von Restkongruenzen (mod. \(m\)) \[ \left\{\mu(d_i), \frac{m}{d_i}\right\} \qquad (i = 0, 1, \dots, \tau), \] die durch die “Signatur” \[ S(m) = \left[\begin{matrix} \mu(d) & \mu(d_1) & \cdots & \mu(d_{\tau-1}) & \mu(d_\tau) = 0 \\ 1 & \dfrac{m}{d_1} & \cdots & \dfrac{m}{d_{\tau-1}} & \dfrac m1 = m \end{matrix} \right] \] gegeben ist. Diese so eindeutig bestimmte Kette gestattet nun ein gegebenes Polynom (mod. \(m\)) auf ein Normalpolynom zu reduzieren, dessen Grad höchstens gleich \(\mu (m) - 1\) ist und dessen Koeffizienten gewissen Bedingungen unterworfen sind, deren Struktur mit einem, dem Symbol \(S(m)\) analogen Symbol \(C(m)\) verknüpft ist, der sogenannten “Charakteristik”. Auf diese Weise ergibt sich eine Einteilung aller Polynome in Klassen, deren Anzahl \(N(m)\) durch die Formel \[ N(m) = \left( \frac m{d_1} \right)^{\mu (m)} \left( \frac {d_1}{d_2} \right)^{\mu (d_1)} \cdots \left( \frac {d_{\tau-2}}{d_{\tau-1}} \right)^{\mu (d_{\tau-2})} \left( \frac {d_{\tau-1}}1 \right)^{\mu (d_{\tau-1})} \] gegeben ist. Alle Polynome derselben Klasse haben dasselbe reduzierte Restpolynom.
Ein letzter Paragraph des ersten Teils der Arbeit deckt den Zusammenhang der Kempnerschen Theorie mit der Kroneckerschen der Modulsysteme auf.
Der zweite Teil der Arbeit, der in seinen Symbolen und Formeln einen vollständigen Isomorphismus mit dem ersten Teil aufweist, beschäftigt sich mit den nach einem Modul \(m\) reduzierten Elementen einer arithmetischen Reihe höherer Ordnung. Es werden notwendige und hinreichende Bedingungen dafür abgeleitet, daß die Elemente einer vorgelegten Reihe ganzer Zahlen als die (mod. \(m\)) reduzierten Elemente einer solchen arithmetischen Reihe angesehen werden könen

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