×

zbMATH — the first resource for mathematics

Approximation algebraischer Zahlen. (German) JFM 48.0163.07
Math. Z. 10, 173-213 (1921); Diss. Göttingen
A. Thue hatte (vgl. insb. die in JFM 40.0265.01 kurz besprochene Arbeit [J. Reine Angew. Math. 135, 284–305 (1909)]) bewiesen:
Für jede reelle algebraische Zahl \(n\)-ten Grades \(\xi\) hat die Ungleichung \[ \left|\xi-\frac xy\right|\leqq \frac{1}{y^{\frac n2 +1+\varepsilon}} \quad(\varepsilon>0) \] nur endlich viele Lösungen.
Siegel beweist durch Verfeinerung der Thueschen Methode dasselbe sogar für \[ \left|\xi-\frac xy\right|\leqq \frac{1}{y^{2 \sqrt n}}\,, \] so daß die Größenordnung des Exponenten im Nenner ganz überraschenderweise auf \(\sqrt n\) herabgedrückt ist. Statt \(2\sqrt n\) kann sogar \(\mathop{\text{Min}}\limits_{\lambda=1,\,\ldots,\,n} \left(\dfrac n{\lambda+1} +\lambda\right) +\varepsilon\) stehen. Letztere Zahl ist für \(n < 7\) die Thuesche, für \(n \geqq 7\) kleiner.
Dies Ergebnis ergibt sich bei Siegel als Spezialfall viel allgemeinerer Sätze über diophantische Approximationen algebraischer Zahlen durch algebraische. Verf. kann wichtige Folgerungen in dem bisher unerforschten Gebiet der diophantischen Gleichungen mit Koeffizienten und Unbekannten in beliebigen algebraischen Zahlkörpern ziehen. Hier sei nur ein Spezialfall erwähnt: Hat eine homogene Form \(U(x, y)\) ihren Grad \(\geqq 13\) und ihre Koeffizienten in einem quadratischen Zahlkörper, so hat \(U(x, y) = c\), wo \(x\), \(y\), \(c\) ganze Zahlen dieses Körpers sind (\(c\) gegeben), nur endlich viele Lösungen.
Von Siegels Anwendungen auf die elementare Zahlentheorie sei nur erwähnt, daß er folgendes bisher unüberwundene Problem löst. Gauß hatte vermutet, daß für jedes ganzzahlige \(k > 0\) der größte Primfaktor von \(x^2 + k\) mit \(x\) über alle Grenzen wächst. Bewiesen hatte dies erst G. Pólya [Math. Z. 1, 143–148 (1918; JFM 46.0240.04)], aus dem Thueschen Satz. Siegel beweist dasselbe für jedes ganzzahlige Polynom beliebigen Grades, welches nicht lauter gleiche Wurzeln besitzt (z. B. \(x^3 + 2\)). Und noch vieles mehr.

MSC:
11J68 Approximation to algebraic numbers
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] Bachmann, P., Vorlesungen über die Natur der Irrationalzahlen. Leipzig (Teubner); 1892. · JFM 24.0341.02
[2] Borel, É., Leçons sur la théorie de la croissance. Paris (Gauthier-Villars); 1910.
[3] Cahen, E., Éléments de la théorie des nombres. Paris (Gauthier-Villars); 1900.
[4] Delaunay, B., La solution générale de l’équationX 3?+Y 3=1. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, Paris,162 (1916), S. 150/151.
[5] Hayashi, T., Le produit de cinq nombres entiers consécutifs n’est pas le carré d’un nombre entier. Nouvelles Annales de Mathématiques, Ser. 4,18 (1918). · JFM 46.0212.02
[6] Hill, G. W., Solution of a Problem in the Theory of Numbers. a) The Analyst,1 (1874), S. 27/28. b) The collected Mathematical Works,1, Washington; 1905. · JFM 06.0100.02
[7] Liouville, J., Sur des classes très-étendues de quantités dont la valeur n’est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques. Journal de Mathématiques pures et appliquées, Ser. 1,16 (1851), S. 133-142.
[8] Maillet, E., Introduction à la théorie des nombres transcendants et des propriétés arithmétiques des fonctions. Paris (Gauthier-Villars); 1906.
[9] ?, Sur un théorème de M. Axel Thue. Nouvelles Annales de Mathématiques, Ser. 4,16 (1916), S. 338-345.
[10] ?, Détermination des points entiers des courbes algébriques unicursales à coefficients entiers. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, Paris,168 (1919), S. 217-220.
[11] Perron, O., Die Lehre von den Kettenbrüchen. Leipzig und Berlin (Teubner); 1913. · JFM 43.0283.04
[12] Pólya, G., Sur les propriétés arithmétiques des séries entières, qui représentent des fonctions rationnelles. L’enseignement mathématique,19 (1917), S. 323.
[13] ?, Zur arithmetischen Untersuchung der Polynome. Mathematische Zeitschrift,1 (1918), S. 143-148. · JFM 46.0240.04 · doi:10.1007/BF01203608
[14] Størmer, C., Quelques théorèmes sur l’équation de Pellx 2?Dy 2=+-1 et leurs applications. Skrifter udgivne af Videnskabs-Selskabet i Christiania; 1897.
[15] ?, Sur une équation indéterminée. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, Paris,127 (1898), S. 752-754.
[16] Thue, A., Bemerkungen über gewisse Näherungsbrüche algebraischer Zahlen. Skrifter udgivne af Videnskabs-Selskabet i Christiania; 1908. · JFM 39.0273.05
[17] Thue, A., Über rationale Annäherungswerte der reellen Wurzel der ganzen Funktion dritten Gradesx 3?ax?b. Skrifter udgivne af Videnskabs-Selskabet i Christiania; 1908. · JFM 40.0273.04
[18] Thue, A., Om en generel i store hele tal uløsbar ligning. Skrifter udgivne af Videnskabs-Selskabet i Christiania; 1908.
[19] ?, Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen. Journal für die reine und angewandte Mathematik,135 (1909), S. 284-305.
[20] Thue, A. Eine Lösung der Gleichung?P(x)?Q(x)=(x??)?R(x) in ganzen FunktionenP, Q undR für jede beliebige ganze Zahln, wenn ? eine Wurzel einer beliebigen ganzen Funktion bedeutet. Skrifter udgivne af Videnskabs-Selskabet i Christiania; 1909.
[21] ?, Ein Fundamentaltheorem zur Bestimmung von Annäherungswerten aller Wurzeln gewisser ganzer Funktionen. Journal für die reine und angewandte Mathematik,138 (1910), S. 96-108. · JFM 41.0129.02
[22] Thue, A., Über einige in ganzen Zahlenx undy unmögliche GleichungenF(x, y)=0. Skrifter udgit av Videnskabsselskapet i Kristiania; 1911.
[23] Thue, A., Berechnung aller Lösungen gewisser Gleichungen von der Formax r ?by r =f. Skrifter udgit av Videnskabsselskapet i Kristiania; 1918.
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.