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Neuer Beweis für die Funktionalgleichung der Dedekindschen Zetafunktion. (German) JFM 48.0167.01
Übertragung des ersten Riemannschen Beweises für die Fortsetzbarkeit der Funktion \(\zeta(s)\) auf die Dedekindsche Zetafunktion algebraischer Zahlkörper. Der erste Beweis benutzt die Tatsache, daß der funktionentheoretische Charakter der Reihe \[ \sum_{n=1}^\infty e^{-nt} =\frac{e^{-t}}{1-e^{-t}} \] in der ganzen \(t\)-Ebene bekannt ist; und zwar spricht sich dieser in der Tatsache aus, daß die Funktion \(\mathop{\text{cotg}} it\) die bekannte Partialbruchzerlegung besitzt. Analog wird im allgemeinen algebraischen Zahlkörper die Zetareihe vom Verf. mittels mehrmaliger Benutzung des \(\varGamma\)-Integrals, wobei die von den Einheiten herrührenden Beschränkungen der Summation ebenso wie bei dem Heckeschen Beweise erledigt werden, in ein Integral übergeführt, dessen Hauptbestandteil die Reihe \[ \sum_{\mu>0}e^{-(\mu t+\mu' t'+\mu''t''+\cdots)} \quad\text{oder besser} \quad \sum_{\mu>0}N(\mu)e^{-(\mu t+\mu' t'+\mu''t''+\cdots)} \] ist. Hierbei ist (im Falle total reeller Körper) jedem der konjugierten Körper je eine der Variabeln \(t\), \(t'\), \(t''\), \(\ldots\) zugeordnet, und die Summation ist über samtliche total positiven ganzen Zahlen \(\mu\) des Körpers zu erstrecken. Die zweite Reihe (welche aus der ersten durch partielle Differentiation nach sämtlichen Variabeln \(t\), \(\ldots\) entsteht) ist hier besser zu verwenden, weil dann gewisse Integrale absolut konvergieren. An Stelle der Partialbruchzerlegung tritt dann die folgende bemerkenswerte Formel \[ \sum_{\mu>0}N(\mu)e^{-(\mu t+\mu't'+\mu''t''+\cdots)} =\frac1{|\sqrt d|} \sum_\lambda \frac1{(t+i\lambda)^2(t'+i\lambda')^2(t''+i\lambda'')^2\ldots}\,. \] Hierbei hat rechts \(\lambda\) sämtliche Körperzahlen zu durchlaufen, welche nach Multiplikation mit der Körperdifferente ganz sind, und \(d\) ist die Diskriminante. (IV 4.)

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References:
[1] n bedeutet wie üblich den Grad des Körpers.
[2] Vgl. meine demnächst in den Mathematischen Annalen erscheinende Arbeit ?Additive Theorie der Zahlkörper I?. Dort wird nur der Falln=2 behandelt.
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