×

zbMATH — the first resource for mathematics

Darstellung total positiver Zahlen durch Quadrate. (German) JFM 48.0179.04
Der von Hilbert ausgesprochene Satz: “Jede total positive Zahl eines algebraischen Zahlkörpers läßt sich als Summe von vier Quadratzahlen desselben Körpers darstellen”, über den bisher nur in speziellen Fällen etwas bekannt war, wird hier zum ersten Male vollständig bewiesen. Der Beweis verläuft rein arithmetisch als ein Kapitel aus der Theorie der quadratischen Formen mit algebraischen Koeffizienten und basiert auf dem allgemeinen quadratischen Reziprozitätsgesetz, den damit zusammenhängenden Sätzen über Nonnenreste und der Darstellung der Null durch ternäre quadratische Formen, sowie dem Satz über die Existenz unendlich vieler Primideale in Klassen mod \(\mathfrak a\). Die Frage nach der Ganzzahligkeit der darstellenden Quadrate bleibt durch diese Methode ungelöst. Verf. zeigt aber elementar, daß beschränkte Nenner im Fall eines total reellen Körpers bei der Zerlegung einer ganzen Zahl in endlich viele (statt vier) Quadrate gefordert werden können. In \(\S\) 4 werden interessante Anwendungen auf Polynome gemacht, welche für alle positiven Argumente positiv sind.

PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML
References:
[1] Curtiss, D. R., The degree of a Cartesian multiplier. Bulletin of the American Mathematical Society, Ser. 2,20 (1913), S. 19-26. · JFM 44.0117.02
[2] ?, An extension of Descartes’rule of signs. Mathematische Annalen73 (1913), S. 424-435. · JFM 44.0117.01
[3] Fekete, M., und Pólya, G., Über ein Problem von Laguerre. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo34 (1912), S. 89-120. · JFM 43.0145.02
[4] Fujiwara, M., Über die Darstellung binärer Formen als Potenzsummen. The science reports of the Tôhoku Imperial University2 (1913), S. 55-62. · JFM 44.0145.02
[5] Hilbert, D., Grundlagen der Geometrie. 1. Aufl. enthalten in: Festschrift zur Feier der Enthüllung des Gauß-Weber-Denkmals in Göttingen. Leipzig (B. G. Teubner), 1899, S. 80-85; 2. Aufl. 1903, S. 78-79; 3. Aufl. 1909, S. 113-115; 4. Aufl. 1913, S. 104-107.
[6] ?, The Foundations of Geometry. Authorized Translation by E. J. Townsend. Chicago (The Open Court Publishing Company), 1902, S. 116-121.
[7] ?, Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahln-ter Potenzen (Waringsches Problem). Mathematische Annalen67 (1909), S. 281-300. · JFM 40.0236.03
[8] Landau, E., Über die Darstellung definiter binärer Formen durch Quadrate. Mathematische Annalen57 (1903), S. 53-64. · JFM 34.0241.08
[9] ?, Über die Darstellung definiter Funktionen durch Quadrate. Mathematische Annalen62 (1906), S. 272-285. · JFM 37.0252.01
[10] Landau, E., Über die Zerlegung total positiver Zahlen in Quadrate. Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, Jahrgang 1919, S. 392-396. · JFM 47.0161.01
[11] Le Besgue, V. A., Exercices d’analyse numérique. Paris (Leiber et Faraguet), 1859, S. 147-151.
[12] Meißner, E., Über positive Darstellungen von Polynomen. Mathematische Annalen70 (1911), S. 223-235. · JFM 42.0459.11
[13] Meißner, O, Über die Darstellung der Zahlen einiger algebraischer Zahlkörper als Summen von Quadratzahlen des Körpers. Archiv der Mathematik und Physik, 3. Reihe,7 (1904), S. 266-268.
[14] ?, Über die Darstellbarkeit der Zahlen quadratischer und kubischer Zahlkörper als Quadratsummen. Archiv der Mathematik und Physik, 3. Reihe,9 (1905), S. 202-203. · JFM 36.0287.02
[15] Stridsberg, E., Några elementära undersökningar rörande fakulteter och deras aritmetiska egenskaper. Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik11 (1916/1917), Nr. 25, 52 S. · JFM 47.0072.04
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.