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Zahlentheoretische Abschätzungen nach der Piltzschen Methode. (German) JFM 48.0180.02

Bekanntlich kann manches Problem in der Zahlentheorie zurückgeführt werden auf die Bestimmung einer oberen Schranke für den Absolutwert einer Summe \(\sum\limits_{n=1}^{k+1} u_n\), bei der jedes Glied absolut \(\leqq 1\) ist. Für die Gitterpunktabschätzungsprobleme z. B. genügt es stets, den Absolutwert einer Summe \(S_1 =\sum\limits_{n=1}^{k+1}(f_n-[f_n]-\frac12)\) nach oben abzuschätzen. Zwar kann bisweilen die Weylsche Abschätzungsmethode angewendet werden, aber oft, z. B. bei gewissen bekannten Gitterpunktproblemen, nützt diese Methode nicht. Der Verf. zeigt, daß dann manchmal die rein arithmetische Methode mit Erfolg angewandt werden kann, die ihrem Grundgedanken nach von Piltz herrührt. Unter der Voraussetzung, daß \(f_n\) reell, \(g_n=f_{n+1}-f_n\geqq 0\), \(g_{n+1} - g_n>0\) ist, so daß es eine Zahl \(z>1\) gibt mit der Eigenschaft \(z^3 >\dfrac1{g_{n+1}-g_n}\), leitet er eine obere Schranke ab, nicht nur für \(|S_1|\), sondern allgemeiner für den Absolutwert der Summe \(\varSigma_1=\sum\limits_{n=1}^{k+1}\psi(f_n)\), falls \(\psi(v)\) eine beliebige reelle Funktion mit der Periode \(1\) bezeichnet, die absolut \(\leqq 1\) ist, im Intervall \(0 < v < 1\) nicht abnimmt und die Eigenschaft \(\int\limits_0^1 \psi(v)dv=1\) besitzt. Trivial ist, daß \(|\varSigma|\), abgesehen von einem (übrigens gleichgültigen) konstanten Faktor, kleiner als \(z^3 g_k\) ist, aber mit der Piltzschen Methode zeigt der Verf., daß \(|\varSigma_1|\), abgesehen von einem (wiederum gleichgültigen) konstanten Faktor, sogar kleiner als \(z^2 g_k\) ist. Die Verbesserung ist also um so größer, je größer \(z\) ist.
Um zu zeigen, daß dieses Ergebnis im Spezialfall der Summe \(S_1\) alle \(z\). Zt. bekannten Gitterpunktabschätzungen bei ebenen Bereichen enthält, leitet der Verf. als Beispiel den Voronoïschen Satz ab, wonach beim Teilerproblem das Restglied \(O(\root 3 \of x \log x)\) ist.

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References:

[1] E. Landau, Über Dirichlets Teilerproblem [Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse, Jahrg. 1920, S. 13–32].
[2] Über diese Methoden kann man Näheres nachlesen in meiner Dissertation Over roosterpunten in het platte vlak (De beteekenis van de methoden van Varonoï en Pfeiffer), Noordhoff (Groningen), 1919, 128 S.
[3] Über die vielfache Anwendbarkeit dieses Hauptsatzes vergleiche man meine Dissertation. Der Leser kann den Beweis dieses Satzes auch finden in der in Anmerkung 5 genannten Abhandlung und in meiner Arbeit: Über Gitterpunkte in der Ebene, Math. Ann.,81 (1920), S. 1–20.
[4] E. Landau und J. G. van der Corput, Über Gitterpunkte in ebenen Bereichen [Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, mathematisch-physikalische Klasse. Jahrg. 1920, S. 135–171]. · JFM 47.0160.02
[5] Vgl. z. B. P. Bachmann, Niedere Zahlentheorie, erster Teil (1902), S. 121–124; Teubner (Leipzig).
[6] Vergleich z. B. C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, 1918, Teubner (Leipzig und Berlin), S. 181.
[7] C. Carathéodory, l. c., Vorlesungen über reelle Funktionen, 1918, Teubner (Leipzig und Berlin), S. 183.
[8] C. Carathéodory, l. c., Vorlesungen über reelle Funktionen, 1918, Teubner (Leipzig und Berlin), S. 184.
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