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The classification of rational approximations. (English) JFM 48.0192.04

Ist \(\dfrac{p_n}{q_n}\) der \(n\)-te Näherungsbruch einer irrationalen Zahl \(\vartheta\), und setzt man \[ \left|\vartheta-\frac{p_n}{q_n}\right|=\frac1{\lambda_nq_n^2}, \] so sind bekanntlich unendlich viele \(\lambda_n\) größer als \(\sqrt5\). Verf. fragt nun nach denjenigen Zahlen \(\vartheta\), bei denen alle \(\lambda_n\) mit höchstens endlich vielen Ausnahmen kleiner als 3 sind, also Zahlen \(\vartheta\), die sich nur sehr schlecht durch rationale Brüche approximieren lassen. Es zeigt sich, daß die Menge dieser Zahlen \(\vartheta\) die Mächtigkeit des Kontinuums hat. Dagegen sind, sobald man statt 3 eine kleinere Schranke \(3-\varepsilon\) fordert, diese Zahlen \(\vartheta\) immer nur in abzählbarer Menge vorhanden, und zwar sind es nur gewisse quadratische Irrationelle.

MSC:

11J04 Homogeneous approximation to one number
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