Über die Approximation irrationaler Zahlen durch rationale. I, II. (German) JFM 48.0193.01

Perron, O.

Sitzungsber. Heidelb. Akad. Wiss. 1921, No. 4, 8 S. (1921).

Hier wird, unabhängig von der vorstehend besprochenen Arbeit Heawoods, im wesentlichen das gleiche Problem behandelt und folgendermaßen formuliert. Ist \(\xi\) eine Irrationalzahl, \(\dfrac{A_{nu}}{B_{\nu}}\) ihr Näherungsbruch \(\nu\)-ter Ordnung und \[ \left|\xi- \frac{A_{nu}}{B_{\nu}}\right|=\frac1{\varrho_{\nu}B^2_{\nu}}, \] so ist \(\limsup_{\nu\to\infty}\varrho_{\nu}=M(\xi)\) eine Funktion von \(\xi\); sie soll untersucht werden. In Übereinstimmung mit Heawood ergibt sich, daß die Gleichung \(M(\xi)=3\) für eine Menge von Zahlen \(\xi\) erfüllt ist, die die Mächtigkeit des Kontinuums hat, während die Ungleichung \(M(\xi)<3\) nur für gewisse (übrigens genau angebbare) quadratische Irrationalzahlen \(\xi\) besteht; und zwar nimmt die Funktion \(M(\xi)\) unterhalb 3 nur abzählbar viele Werte mit der einzigen Häufungsstelle 3 an. Die elf kleinsten werden angegeben.
Weiterhin wird gezeigt: Die Gleichung \(M(\xi) =\sqrt{12}\) besteht für eine Menge von Zahlen \(\xi\), die die Mächtigkeit des Kontinuums hat; ebenso die Gleichung \(M(\xi)=\dfrac{\sqrt{243}+65}{22}\). Dagegen nimmt \(M(\xi)\) zwischen \(\sqrt{12}\) und \(\dfrac{\sqrt{243}+65}{22}\) nur noch den einen Wert \(\sqrt{13}\) an, und zwar bloß für die mit \(\dfrac{\sqrt{13}+3}{2}\) äquivalenten Zahlen \(\xi\).

Reviewer: Perron, O., Prof. (München)

MSC:

11J04

Homogeneous approximation to one number

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 9. Transzendente Zahlen. Approximation reeller Zahlen durch rationale. Geometrie der Zahlen.