×

zbMATH — the first resource for mathematics

Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. (German) JFM 48.0222.01
Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, herausgegeben von R. Courant, Bd. 2. Berlin: J. Springer. x, 474 S. (1922).
Das vorliegende Lehrbuch bietet in klarer und lebendiger Darstellung eine mit großer pädagogischer Sorgfalt ausgearbeitete Einführung in die Theorie der unendlichen Reihen nebst verschiedenartigen Anwendungen auf die reelle und komplexe Funktionentheorie. Es ist aus Vorlesungen und Übungen hervorgegangen, die der Verf. an den Universitäten Berlin und Königsberg öfter gehalten hat; dementsprechend soll es “dem Studierenden bei den Vorlesungen eine zuverlässige und gründliche Hilfe bieten und gleichzeitig zur Durcharbeitung des ganzen Stoffes im Selbststudium geeignet sein”.
Der gesamte Stoff ist in drei Teile eingeteilt. Im gründlich aufgebauten ersten Teil (S. 3–104) werden die Theorie der irrationalen Zahlen und die Fundamentalsätze über reelle Zahlenfolgen gebracht. Im zweiten Teil (S. 105–266) werden die Anfangsgründe der Theorie der unendlichen Reihen entwickelt: Reihen mit positiven, bzw. beliebigen Gliedern, Potenzreihen (nur im reellen Gebiet), Reihenentwicklungen der elementaren Funktionen, unendliche Produkte und einige sehr nützliche Anleitungen zur theoretischen und praktischen Berechnung der Reihensumme. Erst im dritten Teil (S. 267–467) erfolgt ein tieferer “Ausbau der Theorie”.
In den zwei ersten Kapiteln werden hier, genau so wie in den entsprechenden Kapiteln des zweiten Teiles, Reihen mit positiven, bzw. beliebigen Gliedern behandelt. Besonders eingehend sind die Konvergenzkriterien von Abel, Dini, Pringsheim und Ermakoff dargestellt. Im nächsten Kapitel werden die Funktionenfolgen eingeführt. Nach einer sorgfältigen Analyse des Begriffs der gleichmäßigen Konvergenz werden hier die Fourierschen Reihen in ihren Grundlinien skizziert. Darauf folgt die Einführung komplexer Größen und (mit Hilfe der Potenzreihen) die Definition der analytischen Funktionen. Die elementaren Funktionen werden wiederum (diesmal im komplexen Gebiet) untersucht. Außerdem werden die einfachsten Sätze über Dirichletsche und Fakultätenreihen gebracht. Das Schlußkapitel handelt von den divergenten Reihen. Hier findet der Leser die Zusammenstellung der wichtigsten Summationsverfahren, von denen die Methode des arithmetischen Mittels eingehend behandelt wird. Als eine besonders prägnante Anwendung dieser Methode wird der Fejérsche Satz aus der Theorie der Fourierschen Reihen bewiesen.
Der Anfänger wird die mitten im Text eingestreuten zahlreichen Beispiele und Bemerkungen (die manchmal auch Hinweise auf tiefere und ferner liegende Untersuchungen enthalten) sicher mit Freude begrüßen. Auch die am Schluß der einzelnen Kapitel zusammengestellten, mit großem pädagogischen Geschick ausgewählten Aufgaben (insgesamt 208) werden nützlich und anregend wirken. Jede Gelegenheit wird ferner benutzt, um geschichtliche Momente hervorzuheben; auch wird es nicht unterlassen, die wichtigsten Entwicklungsetappen mit biographisch-historischen Notizen zu begleiten.
Die Vorkenntnisse, welche die Lektüre des Buches erfordert, sind relativ gering; sie beschränken sich im wesentlichen auf die Elemente der Differential- und Integralrechnung. An einigen Stellen (z. B. § 19) werden sogar einige weniger geläufige Sätze, die im Laufe von Entwicklungen benötigt werden, (natürlich ohne Beweis) formuliert. Es werden reichlich Literaturhinweise gemacht. Am Schluß des Buches ist außerdem ein Literaturverzeichnis beigelegt, das 23 Lehrbücher umfaßt.
Mittlerweile ist eine Neuauflage erschienen.

MSC:
40-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to sequences, series, summability
40Axx Convergence and divergence of infinite limiting processes
Full Text: EuDML Link