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Über die Cesàrosche Summabilität bei Reihen und eine Erweiterung des Grenzbegriffs bei integrablen Funktionen. (German) JFM 48.0226.01

Die Arbeit zerfällt in zwei parallel laufende Teile, von denen der erste sich mit den Cesàroschen Mitteln bei Reihen, der zweite mit analogen Mitteln bei Funktionen beschäftigt. Jeder hat 2 Paragraphen.
§ 1 bringt zwei Grenzwertsätze, die Verallgemeinerungen bekannter Sätze aus dem Kreis gewisser Fragestellungen von Hardy, Littlewood und Landau darstellen.
I. a) (für Folgen): Aus \(\gamma _n\cong An^k\) und \(\varDelta ^2\gamma _n >-cn^{k-2}\) folgt \(\varDelta \gamma _n\cong Akn^{k-1}\) (s. a. F. d. M. 47, 280 (JFM 47.0280.*), 1919-20).
b) (für Funktionen): Aus \(\varphi (x)\cong Ax^k\) und \(\varphi ^{\prime\prime }(x)>-cx^{k-2}\) folgt \(\varphi '(x)\cong Akx^{k-1}\). – Dabei sind \(\gamma _n\), \(\varphi (x)\) reell, \(A\), \(k\), \(c\) beliebig reell, \(\varphi (x)\) für \(x\geqq 0\) zweimal differentiierbar vorausgesetzt.
II. Aus \(\gamma _n\cong An^{r+d}\) und \(\varDelta ^r\gamma _n >-cn^d\) folgt
\(\varDelta ^p\gamma _n\cong A(r+d)\ldots (r+d-p+1)n^{r+d-p}\) für \(p = 1, 2,\ldots, r - 1\); – und entsprechend für Funktionen.
§ 2 bringt Anwendungen dieser Sätze, die bei dem Cesàroschen Summierungsverfahren so lauten:
1. Ist \(\sum a_nC_k\)-summierbar und einseitig \(C_{k-2}\)-besehränkt, so ist \(\sum a_n\) schon \(C_{k-1}\)-summierbar (\(k\neq 0, -1, -2,\ldots \)).
2. Ist \(\sum a_n\) einseitig \(C_d\)-beschränkt (\(d >-1\)) und \(C_k\)-summierbar für irgendein \(k\), so ist sie \(C_{d+1}\)-summierbar.
3. Ist \(\sum a_nC_p\)-beschränkt und \(C_{p+1}\)-summierbar, \(\sum b_nC_q\)-beschränkt und \(C_{q+1}\)-summierbar, so ist die Cauchysche Produktreine \(C_{p+q+2}\) - summierbar.
Die entsprechenden Sätze des zweiten Teils der Arbeit beziehen sich auf integrierbare Funktionen, die mediabel \(k\)-ter Ordnung sind, d. h. für die \[ \mu ^{(k)}(x) = \underline {\frac {k}{x^k}}\int _0^x f(y)(x-y)^{k-1}\,dy \] bei \(x\to +\infty \) einem Grenzwert zustrebt. (Vgl. die Diss. des Verf., F. d. M. 47, 199 (JFM 47.0199.*), 1919-20.) – Der Cauchyschen Produktreihe entspricht dabei die aus zwei differentiierbaren Funktionen \(f_1\) und \(f_2\) gebildete Funktion \(f_3\), deren Ableitung \[ f_3'(x) = \int _0^x f_1'(y) f_2'(x-y)\,dy \] ist.

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