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Über das Eulersche Summierungsverfahren. (German) JFM 48.0232.01

Die sogen. Eulersche Reihentransformation führt die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty a_n \equiv \sum_{n=0}^\infty (-1)^nb_n\quad \text{in}\quad \sum_{k=0}^\infty \frac{\varDelta ^k b_0}{2^{k+1}}\equiv \sum_{k=0}^\infty a_k' \] über, wodurch in gewissen Fällen eine Verbesserung der Konvergenz erreicht wird. Sind \(s_n=a_0 + \cdots + a_{n-1}\) und \(s_k'=a_0' + \cdots + a_{k-1}'\) die Teilsummen der Reihen, so ist \[ s_k'= \frac 1{2^k}\left[\binom k 0 s_0 + \binom k 1 s_1+ \cdots + \binom k ks_k\right] \] und es zeigt sich, daß die \(s_k'\) durch lineare Mittelbildung aus den \(s_n\) hervorgehen. Die Matrix \(A=(a_{kn})\) der Transformation hat die Elemente \[ a_{kn}=\frac 1{2^k}\binom k n,\quad k,n = 0, 1, 2, \ldots. \] Die Operation \(s'= A(s)\) erweist sich als regulär, so daß auf ihr ein Summierungsbzw. Limitierungsverfahren aufgebaut werden kann. Seine Untersuchung bildet den Gegenstand der Arbeit.
Dies \(E\)-Verfahren erfüllt die Permanenzbedingung (d. h. es limitiert jede konvergente Folge zum unveränderten Werte) und die Erweiterungsbedingung (d. h. es limitiert auch divergente Folgen) und läßt die einfachsten Rechenregeln für konvergente Reihen zu (gliedweise Addition zweier Reihen, Multiplikation mit einer Konstanten, Voranstellen eines Reihengliedes oder Weglassen des Anfangsgliedes).
Iteriert man (§ 2) die Eulersche Transformation, so gelangt man zu \(E_p\)-Transformationen der Reihe \(\sum a_n\) für jedes ganze positive \(p\). Ihre Glieder sind \[ a_k^{(p)}= \frac 1{(2^p)^{k+1}}\sum_{\nu=0}^k \binom k\nu (2^p-1)^{k-\nu}a_\nu \] und ihre Teilsummen \[ a_0^{(p)}+ \cdots + a_{k-1}^{(p)}= s_k^{(p)}=\frac 1{(2^p)^k}\sum_{\nu=0}^k \binom k \nu (2^p-1)^{k-\nu}s_\nu. \] Als Beispiel für die Wirkung des Verfahrens werden die Potenzreihen behandelt. Es ergibt sich ein Sachverhalt, der dem bei dem Borelschen Verfahren auftretenden sehr analog ist. Setzt man \(f(z) = \sum c_nz^n\) auf dem Nullstrahl arc \(z =\varphi\) fort, so sei \(\xi\) der erste dort gelegene singuläre Punkt, \(K(\varphi)\) der Kreis \(\left|\dfrac z\xi +2^p -1\right|<2^p\) und \(\mathfrak B_p\) der Durchschnitt aller dieser Kreise \((0\leqq \varphi< 2\pi)\). Dann gilt der Satz: Bei festem \(p\) ist \(\sum c_nz^n\) in jedem inneren Punkte von \(\mathfrak B_p\) \(E_p\)-summierbar und die \(E_p\)-Transformation von \(\sum c_nz^n\) sogar absolut konvergent. Die hierdurch den Punkten von \(L_p\) zugeordneten Zahlenwerte liefern die Fortsetzung des Elementes \(\sum c_nz^n\) in den Bereich \(\mathfrak B_p\). Außerhalb von \(\mathfrak B_p\) ist die \(E_p\)-Transformierte von \(\sum c_nz^n\) divergent. (Beim Beweise ergibt sich noch der Satz: Ist \(\sum a_n\) \(E_p\)-summierbar, so ist auch \(\sum a_nt^n\) für jedes \(t\) -sogar absolut – \(E_p\)-summierbar, für das \(|t|+ (1 -2^{-p})\cdot |t -1|<1\) ist.)
In § 3 wird der Begriff der \(E_p\)-Limitierung auf beliebige \(p\) erweitert, doch nur für \(p \geqq 0\) weiter untersucht. Es zeigt sich insbesondere, daß jede \(E_p\)-summierbare Reihe auch \(E_q\)-summierbar ist, falls \(q>p\). Hieraus ergibt sich in bekannter Weise ein “Index” der \(E\)-Summierbarkeit. -Die entsprechend definierten Bereiche \(\mathfrak B_p\) schmiegen sich nun für \(p \to \infty\) dem Borelschen Summationspolygon von \(f(z)\) stetig von innen an.
In § 4 wird die Vertauschbarkeit der \(E\)-Transformationen mit den “Hausdorffschen” Summationsmethoden (Referat s. an anderer Stelle dieses Bandes) gezeigt: Bedeutet \(D=(d_{kn})\) die Matrix mit den Elementen \[ d_{kn}=(-1)^n\binom kn, \] und \(A\) die Matrix der \(E_p\)-Transformation, so ist \(DAD^{-1}\) eine Diagonalmatrix mit den Elementen \(1, \dfrac 1{2^p}, \ldots, \dfrac 1{(2^p)^n}, \ldots \).
In § 5 endlich wird gezeigt, daß das Eulersche Summierungsverfahren mit dem Cesàroschen unvergleichbar ist: Es gibt Reihen, die \(E_1\)-, aber nicht \(C_p\)-summierbar sind, und andrerseits Reihen, die \(C_1\)-, aber nicht \(E_p\)-summierbar sind, wie groß in jedem der beiden Fälle auch \(p\) genommen werden möge.
Wenn aber eine Reihe sowohl \(C\)- als \(E\)-summierbar ist, so liefern beide denselben Wert für die Reihe.
Eine zweite Mitteilung ist im folgenden Jahre unter dem gleichen Titel in derselben Zeitschrift erschienen.

MSC:

40G05 Cesàro, Euler, Nörlund and Hausdorff methods
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References:

[1] Näheres findet man in meinem Lehrbuchn Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen u, Berlin 1922, im XIII. Kapitel.
[2] Wir bezeichnen dann die OperationA mit I. Schur (Über die Äquivalenz der Cesàroschen und Hölderschen Mittelwerte, Mathematische Annalen74 (1913). S. 447-458) kurz als einereguläre Operation.
[3] Dielimite généralisée von É. Borel ist wohl die erste in der Literatur auftretende Bezeichnung dieses Sachverhaltes, bei dem einer divergenten Folge durch ein bestimmtes Verfahren ein Grenzwert zugeordnet wird.
[4] Diese Bedingung, die zuerst von G. H. Hardy ausdrücklich formuliert worden ist, wurde von diesem alscondition of consistency bezeichnet und ist dann in zu wörtlicher Übersetzung vielfach als ?Konsistenzbedingung? bezeichnet worden.
[5] O. Toeplitz,Über allgemeine lineare Mittelbildungen, Prace matematycznofizyczne22 (1911), S. 113-119. · JFM 44.0281.02
[6] Diese Forderungen sind für die Summierungsverfahren wohl zum ersten Male von G. Doetsch (Eine neue Verallgemeinerung der Borelschen Summabilitätstheorie der divergenten Reihen, Inaugural Dissertation, Göttingen 1920) ausdrücklich zusammengestellt worden.
[7] Dieser Mangel des Borelschen Verfahrens wurde von G. H. Hardy (Researches in the theory of divergent series and divergent integrals, The quarterly Journal of pure and applied mathematics35 (1904). S. 22-66) bemerkt und durch ein einfaches Beispiel illustriert.
[8] Man findet es z. B. in denInstitutiones calculi differentialis 1755, S. 281.
[9] Dies hat zuerst. L. D. Ames (Evaluation of slowly convergent series, Annals of mathematics (2)3 (1901). S. 185-192) bewiesen: Weinere Beweise gaben E. Jacobsthal (Mittelwertbildung und Reihentrasformation. Mathematische Zeitschrift6 (1920), S. 100-117) und anschließend K. Knopp (Mittelwertbildung und Reihentransformation, Mathematische Zeitschrift6 (1920). S. 118-122. Im Beginn des folgenden § 1 werden noch zwei weitere Beweise gegeben. · JFM 33.0260.01
[10] In seiner in Fußnote 5 genannten Arbeit hat O. Toeplitz allgemein bewiesen. daß eine Operations?=A (s) dann und nur dann regulär ist, wenn 1. in jeder Spalte vonA eine Nullfolge steht, wenn 2. eine KonstanteM existiert, so daß die Summe der Beträge beliebig vieler Glieder einer jeden Zeile <M bleibt, und wenn 3. die (wegen der vorigen Bedingung sicher existierenden) ZeilensummenA k=ak0+ak1+... mit wachsendemk gegen 1 streben. ? Daß die eben benutzte spezielle MatrixA diese Bedingungen erfüllt, ist ganz unmittelbar zu sehen.
[11] Alles Nähere über dieses Verfahren findet man bei E. Borel,Séries divergentes, Paris 1901, besonders S. 97ff. u. S. 120 ff.
[12] On the consistency and equivalence of certain definitions of summability, Transactions of the American Mathematical Society18 (1917), S. 1-20. · JFM 46.0321.03
[13] Summationsmethoden und Momentfolgen I, Mathematische Zeitschrift9 (1921), S. 74-109.
[14] Die übergesetzte kleine Ziffer soll natürlich angeben, wie oft jedesmal die 0 bzw. die 1 hintereinander zu setzen ist.
[15] Einen Beweis findet man in jedem Lehrbuch der Wahrscheinlichkeitsrechnung, z. B. S. 34 ff. desjenigen von A. A. Markoff.
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