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Über die Umwandlung von Potenzreihen in Kettenbrüche. (German) JFM 48.0236.01
Bei der Berechnung des mit der Potenzreihe \(c_0 + c_1x +c_2x^2 + \cdots \) korrespondierenden Kettenbruches spielen bekanntlich die Determinanten \[ \varPsi_{2\nu}=\left| \begin{matrix} \l \;& \l \;& \l \;& \l \\ c_0 & c_1 & \cdots & c_\nu \\ c_1 & c_2 & \cdots & c_{\nu+1} \\ \hdotsfor 4 \\ c_\nu & c_{\nu+1} & \cdots & c_{2\nu} \end{matrix} \right|,\quad \varPsi_{2\nu+1}=\left| \begin{matrix} \l \;& \l \;& \l \;& \l \\ c_1 & c_2 & \cdots & c_{\nu+1} \\ c_2 & c_3 & \cdots & c_{\nu+2} \\ \hdotsfor 4 \\ c_{\nu+1} & c_{\nu+2} & \cdots & c_{2\nu+1} \end{matrix} \right| \] eine Rolle. Für diese wird hier die folgende Rekursionsformel aufgestellt; Setzt man \(c_\nu= \varphi^{(\nu)}(y)\), so ist \[ \varPsi_{k+1} \varPsi_{k-2} = \varPsi_{k-1}\varPsi_k' -\varPsi_k\varPsi_{k-1}'\quad (\varPsi_{-1}= \varPsi_{-2} = 1). \] Nach der formalen Ausführung der Differentiationen muß für jedes \(\varphi^{(\nu)}(y)\) wieder \(c_\nu\) eingesetzt werden. Die Formel läßt sich noch etwas verallgemeinern, wenn für \(c_\nu\) gewisse allgemeinere Ansätze gemacht werden. (IV 11.)
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