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Lehrbuch der Funktionentheorie. I. Elemente der Funktionentheorie. (German) JFM 48.0312.01
Berlin und Leipzig: B. G. Teubner, VI u. 314 S. (1921).
Der vorliegende erste Band behandelt die Elemente der Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen in einer einheitlichen, die Cauchysche und Weierstraßsche Funktionenlehre mit Einschluß der Riemannschen Methoden vereinigenden Darstellung. Der Band zerfällt in 14 Abschnitte. In der Einleitung weist der Verf. nach kurzem historischen Rückblick auf die Bedeutung der komplexen Zahlen hin. Im ersten Abschnitt (S. 4-13) werden die komplexen Zahlen (als Zahlenpaare) eingeführt und insbesondere ihre geometrische Darstellung behandelt. Im zweiten Abschnitt (S. 13-20) werden Grenzwertsätze in zwei Dimensionen sowie die wichtigsten Sätze über Reihen mit komplexen Gliedern hergeleitet. Auch die grundlegenden Eigenschaften der Potenzreihe (Cauchy-Hadamardscher Satz und dergl.) werden schon hier gebracht. Nach diesen Vorbereitungen kann im dritten Abschnitt (S. 21-45) der Begriff der analytischen Funktion eingeführt werden. Gleichzeitig gewinnt man die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Es ergibt sich sofort, daß die Potenzreihen im Innern ihres Konvergenzbereiches analytische Funktionen darstellen. Die konformen Abbildungen, die hier erwähnt werden, weisen auf die geometrische Bedeutung des analytischen Charakters. Im vierten Abschnitt (S. 45-100) werden einige elementare Funktionen: die allgemeinste gebrochene lineare Funktion mit ihren verschiedenen Spezialfällen, die Potenzen und Wurzeln, der Logarithmus und die trigonometrischen Funktionen behandelt. An der Hand solcher konkreten Beispiele werden auch einige für die Funktionentheorie wichtige Eigenschaften der Riemannschen Fläche genannt und die durch diese Funktionen vermittelten Abbildungen einzeln studiert. Der fünfte (S. 100-123) und sechste (S. 123-171) Abschnitt handelt von der komplexen Integralrechnung und der Cauchyschen Integralformel in der üblichen Stoffanordnung. Was die Einzelheiten betrifft, so sei hier besonders auf den sehr gründlich aufgebauten Hauptsatz der Funktionentheorie und auf die Cauchysche Integralformel hingewiesen. Manche Kunstgriffe, die beim Beweis dieser Sätze benutzt werden, scheinen in den bisherigen Darstellungen nicht üblich gewesen zu sein. Für den Anfänger wird die Lektüre des § 12, wo die “Technik” der Potenzreihenentwicklung erörtert wird, besonders nützlich sein. Im siebenten (S. 171-199) und achten (S. 199-222) Abschnitt werden, wie üblich, die weiteren Sätze der Funktionentheorie vom allgemeinen Charakter behandelt: Theorie und Anwendung der Residuen, die analytische Fortsetzung, der Monodromiesatz und das Schwarzsche Spiegelungsprinzip. Der neunte (S. 222-234) und zehnte (S. 234-256) Abschnitt handeln von algebraischen Funktionen und ihren Integralen. Es wird immer von Spezialfällen, zuweilen von numerisch konkreten Beispielen ausgegangen und dann weiter geschlossen. Auch manche moderne Untersuchungen (Uniformisierung) werden wenigstens andeutungsweise berührt. Abschnitt elf (S. 256-279) bringt die Theorie der elliptischen Funktionen in ihren Grundlinien, wobei die doppeltperiodischen Funktionen an die Spitze der Darstellung gestellt werden. Durch das Umkehrproblem schließen sich diese Betrachtungen naturgemäß an die der vorhergehenden Abschnitte an. Im kurz gefaßten zwölften Abschnitte (S. 279-284) werden die einfachperiodischen Funktionen erledigt. Die weiteren Abschnitte haben auch einen mehr oder weniger speziellen Charakter. Sie enthalten u. a. die Weierstraßsche Produktdarstellung von ganzen Funktionen, den Mittag-Lefflerschen Satz, den Satz von Runge und die Umrisse der Theorie der Gammafunktionen.
Es sei noch die elegante, gut verständliche und immer lebendige Darstellung besonders hervorgehoben. Das Verständnis des Stoffes wird durch 80 Figuren erleichtert. Ein kurzes Sachregister schließt den Band.