Neuere Untersuchungen über Funktionen von komplexen Variablen. (German) JFM 48.0313.02

Bieberbach, L.

Encykl. d. math. Wiss. II C 4, 379-532 (1921).

Inhaltsübersicht. – Grundlagen der Theorie. 1. Definition des analytischen Charakters einer Funktion. 2. Der Fundamentalsatz der Funktionentheorie. 3. Die Integralformel. 4, Erweiterungen. 5. Begriff der analytischen Funktion. 6. Riemannsche Mannigfaltigkeiten. 7. Uniformisierung. 8. Begriff der singulären Stelle. 9. Begriff der Umgebung einer singulären Stelle. 10. Eindeutige isolierte Singularitäten. 11. Mehrdeutige isolierte Singularitäten. 12. Der Monodromiesatz. 13. Verteilung der Singularitäten bei eindeutigen Funktionen. -Der Picardsche Satz. 14. Der Picardsche Satz. 15. “Elementare” Methoden. 16. Der Landausche Satz. 17. Verallgemeinerungen. 18. Der Schottkysche Satz. 19. Erweiterungen. – Weiteres über das Verhalten in der Nähe wesentlich singulärer Stellen. 20. Grundbegriffe. 21. Geradlinige Annäherung an singuläre Stellen. 22. Sätze von W. Groß. 23. Werteverteilung in Winkelräumen. 24. Ränderzuordnung bei konformer Abbildung. 25. Der Fatousche Satz. – Ganze transzendente Funktionen. 26. Weierstraß. 27. Laguerre. 28. Poincaré. Hadamard. Borel. 29. Grundbegriffe. 30. Ordnung und Koeffizienten. 31. Ordnung und Grenzexponent. 32. Ausnahmefälle. 33. Bestimmung des Geschlechtes aus den Koeffizienten. 34. Das Geschlecht von Summe und Ableitung. 35. Funktionen unendlicher Ordnung und Funktionen der Ordnung Null. 36. Beziehungen zwischen dem Maximalbetrag einer ganzen Funktion und dem Betrag des größten Gliedes ihrer Potenzreihenentwicklung. – Analytische Fortsetzung. 37. Die erste Methode Mittag-Lefflers. 38. Methode der konformen Abbildung. 39. Modifikation der Methode durch Painlevé. 40. Der Hauptstern als Konvergenzstern. 41. Zurückführung auf die Summation der geometrischen Reihe. 42. Integraldarstellungen. 43. Eine neue Methode Mittag-Lefflers. 44. Verallgemeinerungen. – Zusammenhang zwischen den Koeffizienten eines Funktionselementes und den Singularitäten der durch dasselbe definierten Funktion. 45. Die Singularitäten auf dem Konvergenzkreis. 46. Der Hadamardsche Multiplikationssatz. 47. Der Satz von Leau. 48. Sätze von Lindelof. 49. Rekurrierende Reihen. 50. Untersuchungen von Darboux. 51. Die Lage der Pole. -Die Potenzreihen an der Konvergenzgrenze. 52. Der Abelsche Grenzwertsatz. 53. Die Hölderschen und die Cesàroschen Mittel. 54. Weitere Summationsmethoden. 55. Beziehungen zwischen den verschiedenen Summationsmethoden. 56. Das Wachstum der Funktion bei Annäherung an die Konvergenzgrenze. – Reihen analytischer Funktionen. 57. Eigenschaften der Summen konvergenter Reihen von analytischen Funktionen. 58. Der Vitalische Satz. 59. Weiteres über Reihen analytischer Funktionen. – Funktionenfamilien. 60. Die Taylorkoeffizienten beschränkter Funktionen. 61. Jensens Verallgemeinerung des Schwarzschen Lemmas. 62. Die Funktionen \(M(r), \mu(r), \mathfrak M(r)\). 63. Schwankungen. 64. Schlichte Familien. 65. Familien, die schlicht und zugleich beschränkt sind. 66. Konvexe Familien. – Arithmetische Eigenschaften analytischer Funktionen. 67. Arithmetische Eigenschaften analytischer Funktionen. – Analytische Funktionen von mehreren komplexen Variabeln. 68. Definition des analytischen Charakters einer Funktion. 69. Die Konvergenz der Potenzreihen in zwei komplexen Veränderlichen. 70. Die singulären Stellen der analytischen Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen. 71. Meromorphe Funktionen. 72. Implizite Funktionen. 73. Analytische Abbildungen.
Der Artikel führt den Artikel von Osgood (1900) weiter und ist am 1. Dezember 1920 abgeschlossen worden.

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente Grundlagen und Allgemeines. Potenzreihen. Dirichletsche Reihen. Fakultätenreihen und Verwandtes. Ganze transzendente Funktionen. Andere Klassen von Funktionen. Folgen von Funktionen.