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Sur les familles quasi-normales de fonctions méromorphes. (French) JFM 48.0323.04

Nach M. (in der ersten Note) heißt eine Familie (\(=\) Menge) von Funktionen \(f(z)\), die in einem zusammenhängenden Gebiete \(D\) regulär sind, daselbst quasi-normal der Ordnung \(\leqq p\), wenn es in \(D\) endlich viele “Ausnahmepunkte” \(z_1,\ldots, z_p\) gibt der Art, daß jede Folge von Funktionen \(f(z)\) eine Teilfolge besitzt, die im Innern des Gebietes \(D \{ z_1,\ldots, z_p\}\) gleichmäßig konvergiert gegen eine dort reguläre Funktion oder gegen \(\infty\). Für \(p=0\) hat man den von M. bereits früher eingehend gewürdigten Fall der normalen Funktionsfamilie.
Fundamental ist dann der Satz: Die Familie der in \(D\) regulären, dort höchstens \(p\) Null- und höchstens \(q\) Eins-Stellen besitzenden Funktionen ist quasi-normal der Ordnung \(\leqq\) min \((p, q)\).
Es ist ferner wichtig, Voraussetzungen zu kennen, unter denen man behaupten kann, daß eine quasi-normale Familie der Ordnung \(\leqq p\) normal und beschränkt ist. Dazu genügt es z. B., daß die Funktionen \(f(z)\) der Familie in \(p+1\) festen Punkten von \(D\) beschränkt sind.
Aus der Theorie der quasi-normalen Familien ergibt sich schließlich folgende Verallgemeinerung des Satzes von Schottky (der den Spezialfall \(p = 0\) darstellt): I. Für die Familie der im Kreise \(|z| < R\) regulären, dort höchstens \(p\) Null- und höchstens \(p\) Eins-Stellen besitzenden Funktionen \(f(z) = \sum a_nz^n\), deren \(p + 1\) Anfangskoeffizienten den Bedingungen \[ |a_0|\leqq k_0, \quad |a_1|\leqq k_1,\ldots, |a_p|\leqq k_p \] genügen, gilt im Kreise \(|z|<\vartheta R\) (wo \(0 < \vartheta < 1\)) gleichmäßig eine Abschätzung \[ |f(z)|\leqq \varOmega = \varOmega (p, k_0,k_1,\ldots,k_n, \;\vartheta, R). \]
In der zweiten Note gibt M. die entsprechende Verallgemeinerung des Satzes von Landau (der wiederum den Spezialfall \(p = 0\) darstellt): II. Für die Menge aller im Nullpunkt regulären Funktionen \(f(z) = \sum a_nz^n\) mit \(a_{p+1} \neq 0\) existiert eine Zahl \(R\), die nur von \(a_0, a_1,\ldots, a_p, a_{p+1}\) abhängt der Art, daß in jedem Kreise um \(z=0\) vom Radius \(>R\) die Funktion \(f(z)\) entweder nicht regulär ist oder wenigstens einen der Werte \(0,1\) mehr als \(p\)-mal annimmt.
Auch werden weitere Verallgemeinerungen dieses Satzes angegeben.
Zu vorstehendem sei bemerkt, daß gleichzeitig und unabhängig Bieberbach die beiden obigen Sätze I und II (letzteren sogar in einer noch allgemeineren Gestalt) unter Mitteilung seiner Beweise (die in den Noten der vorliegenden Reihe durchweg fehlen) veröffentlicht hat (vgl. das nächste Referat).
In der dritten Note gibt V. eine Übertragung Über-Landauschen Satzes auf Funktionen, die in einer Umgebung des Nullpunktes mehrdeutig sind.
Wichtiger dürfte die vierte Note sein, in der M. den Begriff der quasinormalen Familie für meromorphe Funktionen definiert. Es gelten dann die Analoga zu den Sätzen der beiden ersten Noten, wobei man an Stelle zweier Ausnahmewerte jetzt drei hat, nämlich \(0, 1, \infty\).

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