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Über die Verteilung der Null- und Einsstellen analytischer Funktionen. (German) JFM 48.0324.01

Es werden folgende Verallgemeinerungen des bekannten Schottkyschen und Landauschen Satzes über Funktionen, die 2 Werte auslassen, bewiesen: I. Wenn die im Kreise \(|z| < R\) reguläre Funktion \(f(z) = \sum\limits_{\nu =0}^\infty a_\nu z^\nu\) daselbst nicht mehr als \(n\) Nullstellen und \(m\) Einsstellen besitzt und wenn die ersten \(n+1\) Koeffizienten der Potenzreihe den Bedingungen \(|a_i| \leqq k_i\) \((k_i > 0)\) unterworfen sind, so ist in jedem Teilkreis \(|z|\leqq\vartheta R\) (\(0 < \vartheta < 1\)) der Betrag der Funktion \(|f(z)|\) unter einer nur von den \(k_i, \vartheta\) und \(R\) sowie \(n\) und \(m\) Abhängenden Schranke \(S_{n,m}(k_0,k_1,\ldots, k_n, \vartheta, R)\). II. Fügt man zu den Voraussetzungen von I noch \(a_{n+1} \neq 0\) hinzu, so gibt es eine Funktion \(L_{n,m}(k_0,k_1,\ldots,k_n,a_{n+1})\), so daß \(R\leqq L_{n,m}\).
Der Verf. führt die Sätze durch vollständige Induktion auf den Schottkyschen bzw. Landauschen Satz \((n = m = 0)\) zurück, indem er sich hierbei des wichtigen Hilfssatzes bedient: III. Wenn die für \(|z| < R\) reguläre Funktion \(f(z)\) den Koeffizientenbeschränkungen des Satzes I unterworfen ist und wenn das Bild des Kreises eine \(n\)-fach überdeckte Kreisscheibe \(|z| < P\) enthält, so ist \(P\leqq H(k_0,k_1,\ldots, k_n, R)\). (Vgl. die nächsten Referate.)

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