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Über einige funktionentheoretische Ungleichungen. (German) JFM 48.0327.01
Die Verf. beweisen in §1 folgenden Satz:
Ist \(f(z)\) eine für \(|z|\leqq 1\) reguläre analytische Funktion, so ist für \(\alpha = 1\) und für \(\alpha = 2\) \[ \int\limits_{-1}^{+1}|f(z)|^\alpha dz\leqq\dfrac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^\pi |f(e^{i\vartheta})|^\alpha d\vartheta, \tag{1} \] wo das links stehende Integral längs der reellen Achse zu nehmen ist.
Aus diesem Satze leiten sie in §2 die Hilbertsche Ungleichung \[ \sum\limits_{\mu, \nu=1}^\infty\dfrac{a_\mu a_\nu}{\mu + \nu}\leqq \pi\sum\limits_{\nu =1}^\infty a_\nu^2 \quad (a_\nu \text{ reel}) \tag{2} \] ab.
In §3 machen sie folgende Anwendung auf konforme Abbildung:
Ist die Kreisfläche \(K\) auf ein endliches Gebiet konform abgebildet, das von einer rektifizierbaren Jordankurve von der Länge \(L\) begrenzt wird, so ist die Länge der einem Kreisdurchmesser entsprechenden Kurve höchstens \(\tfrac{1}{2}L\).
Die Konstante \(\tfrac{1}{2}\) kann weder in dieser Aussage noch auf der rechten Seite von (1) durch eine kleinere ersetzt werden.

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