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Über die gleichmäßige Konvergenz Dirichletscher Reihen. (German) JFM 48.0341.01
Satz. Die Dirichletsche Reihe \(\sum a_ne^{-\lambda _ns}\) besitze ein Konvergenzgebiet; ihre Summe sei für \(\sigma >\eta \) regulär und beschränkt. Falls dann \[ \frac {1}{\lambda _{n+1}-\lambda _n} =O\,(e^{e^{\lambda _n\varepsilon }}) \text{ \;für jedes \;} \varepsilon > 0,\tag{1} \] so konvergiert die Reihe gleichmäßig für \(\sigma >\eta +\delta \) (\(\delta >0\)); falls \[ \frac {\log n}{\lambda _n}\to 0,\tag{2} \] so konvergiert dieselbe absolut für \(\sigma >\eta \).
Am Teil (1) ist das starke Wachstum der unter dem \(O\)-Zeichen stehenden Funktion von \(\lambda _n\) neu, und der außerordentlich kurze Beweis bemerkenswert. Teil (2) ist, wie Verf. bermerkt, durch Bohr bekannt.

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