Zum Konvergenzproblem der Dirichletschen Reihen beschränkter Funktionen. (German) JFM 48.0341.02

Neder, L.

Math. Zeitschr. 14, 149-158 (1922).

Es sei a die einfache, \(\beta \) die absolute, \(\gamma \) die gleichmäßige Konvergenzabszisse, \(\eta \) die Beschränktheitsabszisse einer Dirichletschen Reihe \(\sum _{n=1}^\infty a_ne^{-\lambda _ns}\) mit \(\lambda _1\geqq 0\), also \[ -\infty \left\{ \begin{matrix}\l&\;\l\\ \leqq &\alpha \\ \leqq &\eta \end{matrix}\right\} \leqq \gamma \leqq \beta \leqq \infty . \]
1. Landau hatte (vgl. das vorige Referat) bewiesen: Aus \[ \frac {1}{\lambda _{n+1}-\lambda _n} =O\,(e^{e^{\lambda _n\varepsilon }}) \text{ \;für jedes \;} \varepsilon > 0 \] folgt \(\gamma =\eta \). Verf. zeigt, daß hierin e durch kein festes \(k > 0\) ersetzt werden kann.
2. Carlson (C. R. 172, 838; Ref. oben) hatte bewiesen: \[ \sum _{n=1}^\infty |a_ne^{-\lambda _n\sigma }|^2 \] konvergiert für \(\sigma >\eta \). Verf. zeigt, daß 2 weder allgemein noch für irgendein \(\sigma \) durch eine kleinere absolute Konstante ersetzt werden kann.
3. Nach Carlson (l. c.) gilt mit \(2 \beta ^*=\) (absolute) Konvergenzabzisse von \(\sum _{n=1}^\infty e^{-\lambda _ns}\) \[ \beta -\eta \leqq \beta ^* \] bei allen Dirichletschen Reihen dieses \(\lambda \)-Tjpus. Für die obere Grenze \(\bar\varphi \) Zahlen \(\beta -\eta \) bei allen diesen Reihen gilt also \(0\leqq \bar \varphi \leqq \beta ^*\). Verf. beweist, daß bei jedem \(\beta ^*\) jedes hiermit vertragliche \(\bar \varphi \) bei passendem \(\lambda \)-Typus vorkommt.
Das Hilfsmittel zum Beweise von 2. und 3. ist (§2) ein neuer, ganz elementarer Typ singulärer Polynome \[ G_n(z)=\sum _{\nu =0}^{n-1} c_{n\nu }z^\nu \qquad (n =1^2, 2^2, 3^2,\ldots ) \] mit \(|G_n(z)|\leqq 1\) für \(|z|\leqq 1\), und \(\sum _{\nu =0}^{n-1}|c_{n\nu }|\geqq \) (pos. Konst.). \(\sqrt n\).

Reviewer: Neder, Prof. (Münster i. W.)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente Grundlagen und Allgemeines. Potenzreihen. Dirichletsche Reihen. Fakultätenreihen und Verwandtes. Ganze transzendente Funktionen. Andere Klassen von Funktionen. Folgen von Funktionen.

References:

[1]	Über die gleichmäßige Konvergenz Dirichletscher Reihen [Journ. f. d. reine u. angew. Math.143 (1913), S. 203-211], vgl. S. 205, Hilfssatz 2.
[2]	Über die gleichmäßige Konvergenz Dirichletscher Reihen [Math. Zeischr.11 (1921), S. 317, 318]. · JFM 48.0341.01
[3]	Schlimmeres kann man von dem Beispiel nicht verlangen. Denu der Landausche Beweis gibt unter der Voraussetzung (2) unmittelbar ????+x.
[4]	Vgl. § 4 in des Verf. Arbeit Über die Lage der Konvergenzabszissen einer Dirichletschen Reihe zur Beschränktheitsabzisse ihrer Summe [Arkiv f. Mat., Astr. och Fys.16 (1922), Nr. 20].
[5]	Some problems of Diophantine approximation [Acta math.37 (1914), S. 155 bis 239], vgl. S. 220.
[6]	Über Potenzreihen, die im Einheitskreise beschränkte Funktionen darstellen [Math. Zeitschr.8 (1920), S. 222-236], vgl. § 1 und den Zusatz S. 236. Eine Abart vgl. S. 225, Fußnote4). · JFM 47.0274.01
[7]	Sur les séries de Dirichlet [Comptes Rendus172 (1921), 4. April]. Herr Carlson setzt übrigens weniger voraus, indem er statt ?<? nur eine Voraussetzung über Summierbarkeit der Reihe (1) hat.
[8]	Vgl. beispielsweise Landau, Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie [Berlin 1916], § 2.
[9]	Vgl. die unter 4) zitierte Arbeit, § 1. Vgl. § 4 in des Verf. Arbeit Über die Lage der Konvergenzabszissen einer Dirichletschen Reihe zur Beschränktheitsabzisse ihrer Summe [Arkiv f. Mat., Astr. och Fys.16 (1922), Nr. 20].
[10]	Lösung des absoluten Konvergenzproblems einer allgemeinen Klasse Dirichletscher Reihen [Acta math.36 (1913), S. 197?240], vgl. auf. S 228 das Ende von § 6.