Recherches sur le théorème de M. Picard dans la théorie des fonctions entières. (French) JFM 48.0356.05

Valiron, G.

Ann. de l’Éc. Norm. (3) 39, 317-341 (1922).

Es sei \(f(z)\) eine ganze Funktion, \(n(r, a)\) bezeichne die Anzahl der \(a\)-Stellen im Kreise \(|z|\leqq r\), und es sei \[ F(r, a)= \int\limits_1^r n(x, a)\,\frac{dx}x \] gesetzt. Dann gilt für eine Funktion endlicher Ordnung der folgende Satz: Zu einer beliebigen Zahl \(k > 1\) gibt es eine positive Zahl \(H\) derart, daß die Ungleichung \[ F(r,a) + F(r,b) > H\log M\left(\frac rk\right) \] für \(r > r(a, b)\) gilt, sofern \(a \neq b\) ist. Wenn man die Einschränkung bezüglich der Ordnung wegläßt, so kann die Gültigkeit der Ungleichung \[ F(r, a) + F(r, b) > (\log M(r))^{1-\alpha}, \] \(\alpha\) beliebig klein und positiv, für \(r >r(a, b)\) behauptet werden; hierbei bilden gewisse \(r\)-Intervalle eine Ausnahme, in denen jedoch die Variation von \(\log r\) für \(r > R_0\) kleiner ausfällt als \[ \left[\log M \left(\frac{R_0}k\right)\right]^{-\frac\alpha5}\qquad (k>1). \]
Als Anwendung dieser Sätze wird bewiesen: Für Funktionen, deren Ordnung endlich und positiv ist, können unendlich viele Kreisringe \[ r_p^{\prime\prime}\leqq|z|\leqq r_p^{\prime}\qquad (r_p^{\prime\prime}=kr_p^{\prime};\quad p= 1,\, 2,\, 3,\,\ldots) \] und zwei positive Zahlen \(K\) und \(K'\) gefunden werden derart, daß die Anzahl der \(a\)-Stellen in dem \(p\)-ten Ring von der Form \[ \lambda\log M(r_p^{\prime}) \qquad (K'<\lambda<K) \] ist, sofern \(p > p(x)\); dies gilt für jeden Wert von \(a\), ev. mit Ausnahme von einem, wenn die Ordnung ganz ist. Für Funktionen unendlicher Ordnung wird schließlich das Verhältnis \[ \frac{\log n(r, a)}{\log_2M(r)} \] untersucht und eine Funktion konstruiert, bei welcher der Limes inferior dieses Ausdruckes für eine Menge von \(a\)-Werten, deren Mächtigkeit die des Kontinuums ist, gleich 0, ausfällt.

Reviewer: Szegö, Prof. (Königsberg i. Pr.)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 4. Allgemeine Theorie der Funktionen komplexer Argumente Grundlagen und Allgemeines. Potenzreihen. Dirichletsche Reihen. Fakultätenreihen und Verwandtes. Ganze transzendente Funktionen. Andere Klassen von Funktionen. Folgen von Funktionen.